试题

（2009·庆阳）如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为

5

的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线y=ax²+ax-2上
（1）点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）抛物线的关系式为；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C″的位置．请判断点B′、C″是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

解：由题意得
（1）∵AC=

5

，CO=1，
∴AO=

( 5 )2-12

=2，
∴A（0，2），
做BF⊥OC，
∵BC=AC，∠AOC=∠BFC，
∠CAO=∠BCF，
∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
故答案为：A（0，2），B（-3，1）．

（2）将B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（3）如图1，可求得抛物线的顶点D（-

1

2

，-

17

8

）．
设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入，
求得k=-

5

4

，b=-

11

4

，
∴BD的关系式为y=-

5

4

x-

11

4

．
设直线BD和x轴交点为E，则点E（-

11

5

，0），CE=

6

5

．
∴△DBC的面积为S_CBE+S_CED=

1

2

×

6

5

×1+

1

2

×

6

5

×

17

8

，
=

1

2

×

6

5

×(1+

17

8

)=

15

8

．

（4）如图2，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
过点C″作C″P⊥y轴于点P．（8分）
在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM-∠AMB'-∠ANB，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
将点B′、C′的坐标代入y=

1

2

x²+

1

2

x-2，可知点B′、C′在抛物线上．
（事实上，点P与点N重合）