试题

题目：
青果学院如图，在直角坐标系中，y轴是边长为2的等边△BAD的对称轴，x轴是等腰△BDC的对称轴．
（1）试求出经过点A、点B，且对称轴为直线x=1的抛物线的解析式；
（2）把△BDC沿着直线BD翻折后，得到△BDC'．
①问点C'是否在（1）中的抛物线上？
②设BC'交直线x=1于点Q．若点P是（1）中的抛物线上的一个动点，过点P作PT⊥直线x=1，垂足为T，问：在抛物线上是否存在着点P，使得以P、T、Q为顶点的三角形与△QDC'相似？若存在，写出所有符合上述条件的点P的横坐标；若不存在，试说明理由．
答案
解：（1）由题意可知A（-1，0）B（0，
3
），
抛物线的对称轴为直线x=1，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）
将三点坐标代入y=ax2+bx+c得
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=
3
，
解得
a=- 
3
3
b=
2
3
3
c=
3
，
故抛物线的解析式为y=-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
青果学院；

（2）①BD=
OB2+OD2
=2，
∵△BCD为等腰三角形，
∴CD=BD=2，
∴C点坐标为（0，-
3
），
把△BDC沿着直线BD翻折后，得到△BDC′．
可求得点C′的坐标为（3，0），
代入抛物线解析式y=-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
符合，
即点C'在抛物线上．
②存在．共有4个点，
它们的横坐标分别是：-1，2，
-1+
17
2
，
-1-
17
2
．
解：（1）由题意可知A（-1，0）B（0，
3
），
抛物线的对称轴为直线x=1，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）
将三点坐标代入y=ax2+bx+c得
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=
3
，
解得
a=- 
3
3
b=
2
3
3
c=
3
，
故抛物线的解析式为y=-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
青果学院；

（2）①BD=
OB2+OD2
=2，
∵△BCD为等腰三角形，
∴CD=BD=2，
∴C点坐标为（0，-
3
），
把△BDC沿着直线BD翻折后，得到△BDC′．
可求得点C′的坐标为（3，0），
代入抛物线解析式y=-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
符合，
即点C'在抛物线上．
②存在．共有4个点，
它们的横坐标分别是：-1，2，
-1+
17
2
，
-1-
17
2
．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）先求出AB两点的坐标，结合抛物线的对称轴便可求出抛物线的解析式；
（2）①先求出C′点坐标，将C′点坐标代入抛物线的解析式，即可求得C′在抛物线上；
②仔细阅读题意结合图象便可发现存在点P使得△QDC′∽△PTQ，有四个符合条件的点P．
本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
代数几何综合题．
找相似题