试题

已知：一次函数y=-

1

2

x+2的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，二次函数的关系式为y=ax²-3ax-4a（a＜0）．
（1）说明：二次函数的图象过B点，并求出二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求a的取值范围；
（3）若二次函数的图象过点C，则在此二次函数的图象上是否存在点D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）令y=0，则-

1

2

x+2=0，解得x=4，
令x=0，则y=2，
所以，点B（4，0），C（0，2），
令y=0，则ax²-3ax-4a=0，
整理得x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，二次函数的图象过B点，
二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为A（-1，0）；

（2）y=ax²-3ax-4a=a（x²-3x-4）=a（x-

3

2

）²-

25

4

a，
所以，抛物线的顶点坐标为（

3

2

，-

25

4

a），
当x=

3

2

时，y=-

1

2

×

3

2

+2=

5

4

，
∵二次函数图象的顶点在一次函数图象的下方，
∴-

25

4

a＜

5

4

，
解得a＞-

1

5

，
∴a的取值范围是-

1

5

＜a＜0；

（3）存在．
理由如下：∵二次函数的图象过点C，
∴a×0²-3a×0-4a=2，
解得a=-

1

2

，
∴抛物线解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∵点A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵

OA

OC

=

OC

OB

=

1

2

，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴△ABC是直角三角形，此时点D与点C重合，
根据二次函数的对称性，当y=2时，-

1

2

x²+

3

2

x+2=2，
整理得，x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∴点D的坐标为（0，2）或（3，2）时，△ABD是直角三角形．
解：（1）令y=0，则-

1

2

x+2=0，解得x=4，
令x=0，则y=2，
所以，点B（4，0），C（0，2），
令y=0，则ax²-3ax-4a=0，
整理得x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，二次函数的图象过B点，
二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为A（-1，0）；

（2）y=ax²-3ax-4a=a（x²-3x-4）=a（x-

3

2

）²-

25

4

a，
所以，抛物线的顶点坐标为（

3

2

，-

25

4

a），
当x=

3

2

时，y=-

1

2

×

3

2

+2=

5

4

，
∵二次函数图象的顶点在一次函数图象的下方，
∴-

25

4

a＜

5

4

，
解得a＞-

1

5

，
∴a的取值范围是-

1

5

＜a＜0；

（3）存在．
理由如下：∵二次函数的图象过点C，
∴a×0²-3a×0-4a=2，
解得a=-

1

2

，
∴抛物线解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∵点A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵

OA

OC

=

OC

OB

=

1

2

，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴△ABC是直角三角形，此时点D与点C重合，
根据二次函数的对称性，当y=2时，-

1

2

x²+

3

2

x+2=2，
整理得，x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∴点D的坐标为（0，2）或（3，2）时，△ABD是直角三角形．