试题

已知：如图，抛物线C₁：交y轴交于点B，交x轴于点A、E（点E在点A的右边）．且连接AB=

10

，cot∠ABO=3，Q（-2，-5）在C₁上．

（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）若一个动点P自OB的中点H出发，先到达x轴上某点（设为N），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点K）最后到达点B，求使点P运动的总路径最短的点N，点K的坐标，并求出这个最短总路径的长；
（3）设抛物线C₁的对称轴与x轴交于点F，顶点为D，另一条抛物线C₂经过点E（抛物线C₂与抛物线C₁不重合）且顶点为M（a，b）b＜0，对称轴与x轴相交于点G，且以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形全等，求a、b的值（只需写结果，不必写出解答过程）

解：（1）∵cot∠ABO=3，
∴设OA=x，OB=3x，
则在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

x2+(3x)2

=

10

x，
∵AB=

10

，
∴x=1，
∴OA=1，OB=3，
∴点A（-1，0），B（0，3），
设抛物线C₁的解析式为y=ax²+bx+c，
则

a-b+c=0 c=3 4a-2b+c=-5

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴抛物线C₁的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵OB=3，
∴OB的中点H的坐标为（0，

3

2

），
∴点H关于x轴的对称点H′的坐标为（0，-

3

2

），
∵抛物线C₁的对称轴为直线x=-

2

2×(-1)

=1，
∴点B关于对称轴的对称点B′（2，3），
连接B′H′，与x轴的交点即为N，与对称轴的交点即为K，
设直线B′H′的解析式为y=kx+b，
则

b=- 3 2 2k+b=3

，
解得

k= 9 4 b=- 3 2

，
∴直线B′H′的解析式为y=

9

4

x-

3

2

，
令y=0，则

9

4

x-

3

2

=0，
解得x=

2

3

，
∴点N的坐标为（

2

3

，0），
当x=1时，y═

9

4

×1-

3

2

=

3

4

，
∴点K的坐标为（1，

3

4

），
B′H′=

(3+ 3 2 )2+22

=

97

2

，
即点P运动的最短总路径长

97

2

；

（3）令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点E的坐标为（3，0），
又∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
∴DF=4，EF=3-1=2，
∵以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形全等，
∴①EG与DF是对应边时，EG=DF=4，MG=EF=2，
若点G在点E的左边，则OG=EG-OE=4-3=1，
∴点M的坐标为M₁（-1，-2），
此时a=-1，b=-2，
若点G在点E的右边，则OG=EG+OE=4+3=7，
∴点M的坐标为M₂（7，-2），
此时a=7，b=-2；
②EG与EF是对应边时，EG=EF=2，MG=DF=4，
若点G在点E的左边，则OG=OE-EG=3-2=1，
∴点M的坐标为M₃（1，-4），
此时a=1，b=-4，
若点G在点E的右边，则OG=EG+OE=2+3=5，
∴点M的坐标为M₄（5，-4），
此时a=5，b=-4．
解：（1）∵cot∠ABO=3，
∴设OA=x，OB=3x，
则在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

x2+(3x)2

=

10

x，
∵AB=

10

，
∴x=1，
∴OA=1，OB=3，
∴点A（-1，0），B（0，3），
设抛物线C₁的解析式为y=ax²+bx+c，
则

a-b+c=0 c=3 4a-2b+c=-5

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴抛物线C₁的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵OB=3，
∴OB的中点H的坐标为（0，

3

2

），
∴点H关于x轴的对称点H′的坐标为（0，-

3

2

），
∵抛物线C₁的对称轴为直线x=-

2

2×(-1)

=1，
∴点B关于对称轴的对称点B′（2，3），
连接B′H′，与x轴的交点即为N，与对称轴的交点即为K，
设直线B′H′的解析式为y=kx+b，
则

b=- 3 2 2k+b=3

，
解得

k= 9 4 b=- 3 2

，
∴直线B′H′的解析式为y=

9

4

x-

3

2

，
令y=0，则

9

4

x-

3

2

=0，
解得x=

2

3

，
∴点N的坐标为（

2

3

，0），
当x=1时，y═

9

4

×1-

3

2

=

3

4

，
∴点K的坐标为（1，

3

4

），
B′H′=

(3+ 3 2 )2+22

=

97

2

，
即点P运动的最短总路径长

97

2

；

（3）令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点E的坐标为（3，0），
又∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
∴DF=4，EF=3-1=2，
∵以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形全等，
∴①EG与DF是对应边时，EG=DF=4，MG=EF=2，
若点G在点E的左边，则OG=EG-OE=4-3=1，
∴点M的坐标为M₁（-1，-2），
此时a=-1，b=-2，
若点G在点E的右边，则OG=EG+OE=4+3=7，
∴点M的坐标为M₂（7，-2），
此时a=7，b=-2；
②EG与EF是对应边时，EG=EF=2，MG=DF=4，
若点G在点E的左边，则OG=OE-EG=3-2=1，
∴点M的坐标为M₃（1，-4），
此时a=1，b=-4，
若点G在点E的右边，则OG=EG+OE=2+3=5，
∴点M的坐标为M₄（5，-4），
此时a=5，b=-4．