试题

如图，矩形OABC边长OA、OC分别为12cm和6cm，点A、C分别在y轴和x轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．
（1）求抛物线的关系式．
（2）①若点P从A向B移动，速度是1cm/s，同时点Q从B向C移动，速度是2cm/s．移动t秒后，设△PBQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出t的取值范围．
②当S取最大值时，抛物线上是否存在点R，使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出R的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵矩形OABC边长OA、OC分别为12cm和6cm，
∴点A、B的坐标分别为A（0，-12），B（6，-12），
又∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且18a+c=0，
∴

c=-12 36a+6b+c=-12 18a+c=0

，
解得

a= 2 3 b=-4 c=-12

，
∴抛物线解析式为y=

2

3

x²-4x-12；

（2）①根据题意，PB=AB-AP=6-t，BQ=2t，
所以，S=

1

2

PB·BQ=

1

2

（6-t）×2t=-t²+6t，
即S=-t²+6t，
点P运动的时间为6÷1=6秒，
点Q运动的时间为12÷2=6秒，
所以，t的取值范围是0＜t＜6；

②抛物线上存在点R（3，-18），使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：∵S=-t²+6t=-（t-3）²+9，
∴当t=3秒时，S取最大值，
此时，PB=AB-AP=6-t=6-3=3，
BQ=2t=2×3=6，
所以，要使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，
（i）当QR与PB是对边时，点R的横坐标是6+3=9，纵坐标是-（12-6）=-6，
所以点R的坐标为（9，-6），
此时

2

3

×9²-4×9-12=6≠-6，
所以点R不在抛物线上，
（ii）当PR与QB是对边时，点R的横坐标是3，纵坐标是-（12+6）=-18，
所以点R的坐标是（3，-18），
此时，

2

3

×3²-4×3-12=-18，
所以点R在抛物线上，
综上所述，抛物线上存在点R（3，-18），使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．
解：（1）∵矩形OABC边长OA、OC分别为12cm和6cm，
∴点A、B的坐标分别为A（0，-12），B（6，-12），
又∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且18a+c=0，
∴

c=-12 36a+6b+c=-12 18a+c=0

，
解得

a= 2 3 b=-4 c=-12

，
∴抛物线解析式为y=

2

3

x²-4x-12；

（2）①根据题意，PB=AB-AP=6-t，BQ=2t，
所以，S=

1

2

PB·BQ=

1

2

（6-t）×2t=-t²+6t，
即S=-t²+6t，
点P运动的时间为6÷1=6秒，
点Q运动的时间为12÷2=6秒，
所以，t的取值范围是0＜t＜6；

②抛物线上存在点R（3，-18），使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：∵S=-t²+6t=-（t-3）²+9，
∴当t=3秒时，S取最大值，
此时，PB=AB-AP=6-t=6-3=3，
BQ=2t=2×3=6，
所以，要使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，
（i）当QR与PB是对边时，点R的横坐标是6+3=9，纵坐标是-（12-6）=-6，
所以点R的坐标为（9，-6），
此时

2

3

×9²-4×9-12=6≠-6，
所以点R不在抛物线上，
（ii）当PR与QB是对边时，点R的横坐标是3，纵坐标是-（12+6）=-18，
所以点R的坐标是（3，-18），
此时，

2

3

×3²-4×3-12=-18，
所以点R在抛物线上，
综上所述，抛物线上存在点R（3，-18），使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．