试题

在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）直接写出A、B、C、D的坐标：A，B，C，D；
（2）若点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

解：（1）令y=0，则x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为C（0，3），
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点为D（2，-1）；

（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=

32+32

=3

2

，
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，过点A作AE⊥BC，
∵∠APD=∠ACB，∠AEC=∠AFP=90°，
∴△AEC∽△AFP，
∴

AE

AF

=

CE

PF

，
又∵A（1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为x=2，
∴AF=

1

2

AB=1，
AE=BE=

2

，
CE=BC-BE=3

2

-

2

=2

2

，
∴

2

1

=

2 2

PF

，
解得PF=2，
当点P在x轴上方时，点P的坐标为（2，2），
当点P在x轴下方时，点P的坐标为（2，-2），
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）；

（3）方法一：如图，作点A（1，0）关于y轴的对称点A′（-1，0），
∴∠OCA′=∠OCA，
∴A′C=

12+32

=

10

，
A′D=

12+32

=

10

，
CD=

(1+3)2+22

=

20

，
∴A′C²+A′D²=CD²，
∴△A'DC是等腰直角三角形，
∴∠OCA+∠OCD=∠OCA′+∠OCD=45°；
方法二：如图，连接BD，∵B（3，0），C（0，3），D（2，-1），
∴∠CBO=∠OBD=45°，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠COA，
又∵

BC

OC

=

3 2

3

=

2

，

BD

OA

=

2

1

=

2

，
∴

BC

OC

=

BD

OA

，
∴△CBD∽△COA，
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCD=45°．