试题

如图：一次函数y=-x+m的图象与二次函数y=ax²+bx-4的图象交于x轴上一点A，且交y轴于点B，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设二次函数y=ax²+bx-4的对称轴为直线x=n（n＜0），n是方程2x²-3x-2=0的一个根，求二次函数的解析式；
（3）在（2）条件下，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．试求出C点的坐标．

解：（1）∵一次函数y=-x+m图象经过点A（-2，0），
∴-（-2）+m=0，
∴m=-2，
∴一次函数解析式为y=-x-2；

（2）由2x²-3x-2=0得，x₁=-

1

2

，x₂=2，
∴二次函数y=ax²+bx-4的对称轴为直线x=-

1

2

，
∴

4a-2b-4=0 - b 2a =- 1 2

，
解得

a=2 b=2

，
∴二次函数的解析式为y=2x²+2x-4；

（3）令x=0，一次函数与y轴的交点B（0，-2），
二次函数与y轴的交点为D（0，-4），
∴△AOB是等腰直角三角形，BD=-2-（-4）=2，
∴AB=

22+22

=2

2

，∠OAB=∠OBA=45°，
∵△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BAC和∠ABD是对应角为135°，
∴点C在点A的左边，
①AC和BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，
∴

AC

BD

=

AB

AB

=1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
点C的坐标为（-4，0），
②AC和AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA，
∴

AC

AB

=

AB

BD

=

2 2

2

，
∴AC=

2

AB=

2

×2

2

=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴点C的坐标为（-6，0），
综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．
解：（1）∵一次函数y=-x+m图象经过点A（-2，0），
∴-（-2）+m=0，
∴m=-2，
∴一次函数解析式为y=-x-2；

（2）由2x²-3x-2=0得，x₁=-

1

2

，x₂=2，
∴二次函数y=ax²+bx-4的对称轴为直线x=-

1

2

，
∴

4a-2b-4=0 - b 2a =- 1 2

，
解得

a=2 b=2

，
∴二次函数的解析式为y=2x²+2x-4；

（3）令x=0，一次函数与y轴的交点B（0，-2），
二次函数与y轴的交点为D（0，-4），
∴△AOB是等腰直角三角形，BD=-2-（-4）=2，
∴AB=

22+22

=2

2

，∠OAB=∠OBA=45°，
∵△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BAC和∠ABD是对应角为135°，
∴点C在点A的左边，
①AC和BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，
∴

AC

BD

=

AB

AB

=1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
点C的坐标为（-4，0），
②AC和AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA，
∴

AC

AB

=

AB

BD

=

2 2

2

，
∴AC=

2

AB=

2

×2

2

=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴点C的坐标为（-6，0），
综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．