试题

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的三角形的面积．

解：（1）设正比例函数的解析式为y=ax，反比例函数的解析式为y=

b

x

，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），
∴3=3a，3=

b

3

，
∴a=1，b=9，
∴正比例函数的解析式为y=x，反比例函数的解析式为y=

9

x

；

（2）∵点B在反比例函数上，
∴m=

9

6

=

3

2

，
∴B点的坐标为（6，

3

2

），
∵直线BD是直线OA平移后所得的直线，
∴可设直线BD的解析式为y=x+b，
∴

3

2

=6+b，
∴b=-

9

2

，
∴这个一次函数的解析式为y=x-

9

2

；

（3）过点B作EF∥y轴，过点A作AE∥x轴交EF于E，过点D作DF∥x轴交EF于F，
∴点E的坐标为（6，3），点F的坐标为（6，-

9

2

），
∵点D在直线BD上，
∴点D的坐标为（0，-

9

2

），
∴AE=3，EF=3+

9

2

=

15

2

，DF=6，BE=3-

3

2

=

3

2

，BF=

9

2

+

3

2

=6，
∴S_△ABD=S_梯形AEFD-S_△ABE-S_△BDF
=

1

2

（AE+DF）·EF-

1

2

AE·BE-

1

2

DF·EF
=

1

2

×（3+6）×

15

2

-

1

2

×3×

3

2

-

1

2

×6×6=

27

2

．
解：（1）设正比例函数的解析式为y=ax，反比例函数的解析式为y=

b

x

，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），
∴3=3a，3=

b

3

，
∴a=1，b=9，
∴正比例函数的解析式为y=x，反比例函数的解析式为y=

9

x

；

（2）∵点B在反比例函数上，
∴m=

9

6

=

3

2

，
∴B点的坐标为（6，

3

2

），
∵直线BD是直线OA平移后所得的直线，
∴可设直线BD的解析式为y=x+b，
∴

3

2

=6+b，
∴b=-

9

2

，
∴这个一次函数的解析式为y=x-

9

2

；

（3）过点B作EF∥y轴，过点A作AE∥x轴交EF于E，过点D作DF∥x轴交EF于F，
∴点E的坐标为（6，3），点F的坐标为（6，-

9

2

），
∵点D在直线BD上，
∴点D的坐标为（0，-

9

2

），
∴AE=3，EF=3+

9

2

=

15

2

，DF=6，BE=3-

3

2

=

3

2

，BF=

9

2

+

3

2

=6，
∴S_△ABD=S_梯形AEFD-S_△ABE-S_△BDF
=

1

2

（AE+DF）·EF-

1

2

AE·BE-

1

2

DF·EF
=

1

2

×（3+6）×

15

2

-

1

2

×3×

3

2

-

1

2

×6×6=

27

2

．