如图①，抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A、B，交y轴于C，抛物线的顶点D的横坐标为4，OA•OC=OB．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，若P为抛物线上一动点，PQ∥y轴交-青果题库-青果学院

题目：

如图①，抛物线y=ax²+bx+5交x轴于A、B，交y轴于C，抛物线的顶点D的横坐标为4，OA·OC=OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，若P为抛物线上一动点，PQ∥y轴交直线l：y=

3

4

x+9于点Q，以PQ为对角线作矩形且使得矩形的一边在直线l上，问是否存在这样一点P使得矩形的面积最小？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由
（3）如图③，将直线向下平移m个单位（m＞9），设平移后的直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左边），M关于原点的对称点为M′，连接M′N，问M′N在x轴上的正投影是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由．
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答案

解：（1）令x=0，则y=5，
所以，点C的坐标为（0，5），OC=5，
∵OA·OC=OB，
∴5OA=OB，
∴-5x_A=x_B，①
∵抛物线的顶点D的横坐标为4，
∴

xA+xB

2

=4，②
①、②联立解得，x_A=-2，x_B=10，
∴点A（-2，0），B（10，0），
∵抛物线y=ax²+bx+5交x轴于A、B，
∴

4a-2b+5=0

100a+10b+5=0

，
解得

a=-

1

4

b=2

，
所以，抛物线解析式为y=-

1

4

x²+2x+5；

（2）∵以PQ为对角线的矩形的一边在直线l：y=

3

4

x+9上，

32+42

=5，

∴矩形的长、宽分别为

4

5

PQ，

3

5

PQ，
∴矩形的面积为

4

5

PQ·

3

5

PQ=

12

25

PQ²，
∵点P在抛物线y=-

1

4

x²+2x+5上，点Q在直线y=

3

4

x+9上，
∴PQ=x_Q-x_P=

3

4

x+9-（-

1

4

x²+2x+5）=

1

4

x²-

5

4

x+4=

1

4

（x²-5x+

25

4

）-

25

16

+4=

1

4

（x-

5

2

）²+

39

16

，
∴当x=

5

2

时，PQ有最小值为

39

16

，
故矩形面积的最小值为

12

25

×（

39

16

）²=

4563

1600

；

（3）是定值5．
理由如下：设M′N在x轴上的正投影为EF，则EF等于点N的横坐标减去点M′的横坐标，
∵直线y=

3

4

x+9向下平移m个单位，
∴平移后的直线解析式为y=

3

4

x+9-m，
联立

y=

3

4

x+9-m

y=-

1

4

x2+2x+5

，
消掉y得，

1

4

x²-

5

4

x+4-m=0，
∵点M与点M′关于原点对称，
∴点M′的横坐标与点M的横坐标互为相反数，
∴EF=-

-

5

4

1

4

=5，是定值．
解：（1）令x=0，则y=5，
所以，点C的坐标为（0，5），OC=5，
∵OA·OC=OB，
∴5OA=OB，
∴-5x_A=x_B，①
∵抛物线的顶点D的横坐标为4，
∴