试题

已知：二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且A点坐标为（-6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴B、C三点的坐标分别是B（2，0）、C（0，8），
将A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表达式y=ax²+bx+8，

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

解得

a=- 2 3 b=- 8 3

∴所求二次函数的表达式为y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；

（2）∵AB=8，OC=8，依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

AB

．即

EF

10

=

8-m

8

．∴EF=

40-5m

4

．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

．
∴

FG

EF

=

4

5

．∴FG=

4

5

·

40-5m

4

=8-m．
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m）
=

1

2

（8-m）（8-8+m）=

1

2

（8-m）m=-

1

2

m²+4m．
自变量m的取值范围是0＜m＜8．

（3）存在．理由如下：
∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8，且-

1

2

＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S_最大值=8．
∵m=4，∴点E的坐标为（-2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
（其它正确方法参照给分）
解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴B、C三点的坐标分别是B（2，0）、C（0，8），
将A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表达式y=ax²+bx+8，

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

解得

a=- 2 3 b=- 8 3

∴所求二次函数的表达式为y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；

（2）∵AB=8，OC=8，依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

AB

．即

EF

10

=

8-m

8

．∴EF=

40-5m

4

．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

．
∴

FG

EF

=

4

5

．∴FG=

4

5

·

40-5m

4

=8-m．
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m）
=

1

2

（8-m）（8-8+m）=

1

2

（8-m）m=-

1

2

m²+4m．
自变量m的取值范围是0＜m＜8．

（3）存在．理由如下：
∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8，且-

1

2

＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S_最大值=8．
∵m=4，∴点E的坐标为（-2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
（其它正确方法参照给分）