试题

如图，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线y=ax²+bx上，且y=ax²+bx的最大值是2，y=ax²+bx与x轴的正半轴的交点E的坐标是（2，0）．
（1）求a，b的值；
（2）若矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的封闭区域内，试探索：是否存在周长为3的矩形？若存在，求出此时B点的坐标；若不存在说明理由．

解：（1）根据题意得：抛物线y=ax²+bx过点（2，0），（1，2），
∴

4a+2b=0 a+b=2

，
解得：

a=-2 b=4

；

（2）由（1）得：抛物线的解析式为：y=-2x²+4x，
设点A（m，n），则BC=2-2m，BA=-2m²+4m，
∴矩形的周长为：2（AB+BC）=2（2-2m-2m²+4m）=-4m²+4m+4，
若存在周长为3的矩形ABCD，则：
-4m²+4m+4=3，
即-4m²+4m+1=0，
解得：m=

1± 2

2

，
∵m=

1- 2

2

＜0不符合题意，舍去，
∴m=

1+ 2

2

，
∴存在周长为3的矩形，此时B点的坐标为：（

1+ 2

2

，0）．
解：（1）根据题意得：抛物线y=ax²+bx过点（2，0），（1，2），
∴

4a+2b=0 a+b=2

，
解得：

a=-2 b=4

；

（2）由（1）得：抛物线的解析式为：y=-2x²+4x，
设点A（m，n），则BC=2-2m，BA=-2m²+4m，
∴矩形的周长为：2（AB+BC）=2（2-2m-2m²+4m）=-4m²+4m+4，
若存在周长为3的矩形ABCD，则：
-4m²+4m+4=3，
即-4m²+4m+1=0，
解得：m=

1± 2

2

，
∵m=

1- 2

2

＜0不符合题意，舍去，
∴m=

1+ 2

2

，
∴存在周长为3的矩形，此时B点的坐标为：（

1+ 2

2

，0）．