试题

已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=4．现以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，问：是否存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切？若存在，请求出此时⊙P半径R的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=4，∠A0C=60°，
∴OH=2，CH=2

3

，
∴C的坐标是（2，2

3

），
答：C点坐标为（2，2

3

）．

（2）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx，
把A（4，0），C（2，2

3

）代入得：

0=16a+4b 2  3 =4a+2b

，
∴

a=- 1 2 3 b=2 3

，
∴y=-

1

2

3

x2+2

3

x，
答：此抛物线的解析式为y=-

1

2

3

x2+2

3

x．

（3）存在．
设圆心P（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x，
由y=x，得-

1

2

3

x2+2

3

x=x，
解得x₁=0（舍去），x=4-

2

3

3

，
由y=-x，得-

1

2

3

x2+2

3

x=-x，
解得x₁=0（舍去），x=4+

2

3

3

，
∴所求⊙P的半径R=4+

2

3

3

或R=4-

2

3

3

，
答：存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切，此时⊙P半径R的值是4+

2

3

3

或4-

2

3

3

．
解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=4，∠A0C=60°，
∴OH=2，CH=2

3

，
∴C的坐标是（2，2

3

），
答：C点坐标为（2，2

3

）．

（2）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx，
把A（4，0），C（2，2

3

）代入得：

0=16a+4b 2  3 =4a+2b

，
∴

a=- 1 2 3 b=2 3

，
∴y=-

1

2

3

x2+2

3

x，
答：此抛物线的解析式为y=-

1

2

3

x2+2

3

x．

（3）存在．
设圆心P（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x，
由y=x，得-

1

2

3

x2+2

3

x=x，
解得x₁=0（舍去），x=4-

2

3

3

，
由y=-x，得-

1

2

3

x2+2

3

x=-x，
解得x₁=0（舍去），x=4+

2

3

3

，
∴所求⊙P的半径R=4+

2

3

3

或R=4-

2

3

3

，
答：存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切，此时⊙P半径R的值是4+

2

3

3

或4-

2

3

3

．