试题

如图，直线y=

3

3

x+b经过点B（-

3

，2），且与x轴交于点A．将抛物线y=

1

3

x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．
（1）求∠BAO的度数；
（2）直线AB交抛物线y=

1

3

x2的右侧于点D，问点B是AD中点吗？试说明理由；
（3）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F．当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式．

解：（1）设直线与y轴交于点M，
将x=-

3

，y=2代入y=

3

3

x+b得b=3，
∴y=

3

3

x+3，
当x=0时，y=3，当y=0时x=-3

3

∴A（-3

3

，0），M（0，3）；
∴OA=3

3

，OM=3，
∴tan∠BAO=

OM

OA

=

3

3

∴∠BAO=30°．

（2）联立直线AB和抛物线的解析式，有：

y= 1 3 x2 y= 3 3 x+3

，解得：

x1= 3 + 39 2 y1= 7+ 13 2

、

x2= 3 - 39 2 y2= 7- 13 2

∴D（

3 + 39

2

，

7+ 13

2

）；
已知：A（-3

3

，0）、B（-

3

，2），显然点B不是AD的中点．

（3）设抛物线C的解析式为y=

1

3

（x-t）²，则P（t，0），E（0，

1

3

t²），
∵EF∥x轴且F在抛物线C上，根据抛物线的对称性可知F（2t，

1

3

t²），
把x=2t，y=

1

3

t²代入y=

3

3

x+3
得

2 3

3

t+3=

1

3

t²
解得t₁=-

3

，t₂=3

3

∴抛物线C的解析式为y=

1

3

（x+

3

）²或y=

1

3

（x-3

3

）²．
解：（1）设直线与y轴交于点M，
将x=-

3

，y=2代入y=

3

3

x+b得b=3，
∴y=

3

3

x+3，
当x=0时，y=3，当y=0时x=-3

3

∴A（-3

3

，0），M（0，3）；
∴OA=3

3

，OM=3，
∴tan∠BAO=

OM

OA

=

3

3

∴∠BAO=30°．

（2）联立直线AB和抛物线的解析式，有：

y= 1 3 x2 y= 3 3 x+3

，解得：

x1= 3 + 39 2 y1= 7+ 13 2

、

x2= 3 - 39 2 y2= 7- 13 2

∴D（

3 + 39

2

，

7+ 13

2

）；
已知：A（-3

3

，0）、B（-

3

，2），显然点B不是AD的中点．

（3）设抛物线C的解析式为y=

1

3

（x-t）²，则P（t，0），E（0，

1

3

t²），
∵EF∥x轴且F在抛物线C上，根据抛物线的对称性可知F（2t，

1

3

t²），
把x=2t，y=

1

3

t²代入y=

3

3

x+3
得

2 3

3

t+3=

1

3

t²
解得t₁=-

3

，t₂=3

3

∴抛物线C的解析式为y=

1

3

（x+

3

）²或y=

1

3

（x-3

3

）²．