试题

如图：抛物线 y=x²+4x+k与轴交于A、B两点，设此抛物线的顶点为C
（1）求抛物线顶点C的坐标（用k表示）
（2）若△ABC为直角三角形，求k的值．
（3）若△ABC是等边三角形，k的值是多少？（直接写出答案）

解：（1）y=x²+4x+k
=（x+2）²+k-4
∴抛物线的顶点C的坐标为（-2，k-4）（4分）．

（2）过点C作CD⊥x轴于点D，由抛物线的对称性可得CA=CB
∵△ABC是直角三角形
∴BD=CD=4-k
∵抛物线的对称轴是直线x=-2
∴点B的坐标为（2-k，0）
将点B的坐标代入抛物线的解析式：（2-k）²+4（2-k）+k=0
整理得：k²-7k+12=0
解得k=3或k=4
当k=4时，A、B重合，不合题意，∴k=3（10分）．

（3）k=1（12分）．
解：（1）y=x²+4x+k
=（x+2）²+k-4
∴抛物线的顶点C的坐标为（-2，k-4）（4分）．

（2）过点C作CD⊥x轴于点D，由抛物线的对称性可得CA=CB
∵△ABC是直角三角形
∴BD=CD=4-k
∵抛物线的对称轴是直线x=-2
∴点B的坐标为（2-k，0）
将点B的坐标代入抛物线的解析式：（2-k）²+4（2-k）+k=0
整理得：k²-7k+12=0
解得k=3或k=4
当k=4时，A、B重合，不合题意，∴k=3（10分）．

（3）k=1（12分）．