试题

题目：
青果学院（2010·昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、E（3，-
2
3
3
）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）．
答案
解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
由题意得：
c=0
16a+4b+c=0
9a+3b+c=-
2
3
3
（1分）
解得：a=
2
3
9
，b=-
8
3
9
，c=0（2分）
∴抛物线的解析式为：y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x（3分）

（2）存在（4分）
抛物线y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x的顶点坐标是(2，-
8
3
9
)，作抛物线和⊙M（如图），
设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C
连接MC，过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC
∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4，
∴B（-2，0）
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1，CD=
CM2-DM2
=
3
∴C（1，
3
）
设切线l的解析式为：y=kx+b（k≠0），点B、C在l上，青果学院
可得：
k+b=
3
-2k+b=0

解得：k=
3
3
，b=
2
3
3

∴切线BC的解析式为：y=
3
3
x+
2
3
3

∵点P为抛物线与切线的交点，
由
y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x
y=
3
3
x+
2
3
3
，
解得：
x1=-
1
2
y1=
3
2
，
x2=6
y2=
8
3
3
，
∴点P的坐标为：P1(-
1
2
，
3
2
)，P2(6，
8
3
3
)；
∵抛物线y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x的对称轴是直线x=2
此抛物线、⊙M都与直线x=2成轴对称图形
于是作切线l关于直线x=2的对称直线l′（如图）
得到B、C关于直线x=2的对称点B1、C1
直线l′满足题中要求，由对称性，
得到P1、P2关于直线x=2的对称点：P3(
9
2
，
3
2
)，P4(-2，
8
3
3
)即为所求的点；
∴这样的点P共有4个：P1(-
1
2
，
3
2
)，P2(6，
8
3
3
)，P3(
9
2
，
3
2
)，P4(-2，
8
3
3
)．
解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
由题意得：
c=0
16a+4b+c=0
9a+3b+c=-
2
3
3
（1分）
解得：a=
2
3
9
，b=-
8
3
9
，c=0（2分）
∴抛物线的解析式为：y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x（3分）

（2）存在（4分）
抛物线y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x的顶点坐标是(2，-
8
3
9
)，作抛物线和⊙M（如图），
设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C
连接MC，过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC
∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4，
∴B（-2，0）
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1，CD=
CM2-DM2
=
3
∴C（1，
3
）
设切线l的解析式为：y=kx+b（k≠0），点B、C在l上，青果学院
可得：
k+b=
3
-2k+b=0

解得：k=
3
3
，b=
2
3
3

∴切线BC的解析式为：y=
3
3
x+
2
3
3

∵点P为抛物线与切线的交点，
由
y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x
y=
3
3
x+
2
3
3
，
解得：
x1=-
1
2
y1=
3
2
，
x2=6
y2=
8
3
3
，
∴点P的坐标为：P1(-
1
2
，
3
2
)，P2(6，
8
3
3
)；
∵抛物线y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x的对称轴是直线x=2
此抛物线、⊙M都与直线x=2成轴对称图形
于是作切线l关于直线x=2的对称直线l′（如图）
得到B、C关于直线x=2的对称点B1、C1
直线l′满足题中要求，由对称性，
得到P1、P2关于直线x=2的对称点：P3(
9
2
，
3
2
)，P4(-2，
8
3
3
)即为所求的点；
∴这样的点P共有4个：P1(-
1
2
，
3
2
)，P2(6，
8
3
3
)，P3(
9
2
，
3
2
)，P4(-2，
8
3
3
)．
考点梳理
二次函数综合题；切线的性质．
（1）设抛物线的一般式，将O、A、B三点坐标代入解析式，解方程组即可；
（2）存在这样的点P，设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C，连接MC，过C作CD⊥x轴于D，在Rt△BMC中，CM为半径，∠CBM=30°，可求BM，从而可求B点坐标，在Rt△CDM中，∠CMD=60°，CM为半径，可求CD、DM，OD=OM--DM，可确定C点坐标，根据“两点法”求直线BC解析式，联立直线解析式、抛物线解析式，解方程组可求P点坐标，根据图形的对称性求另外两点坐标．
本题考查了抛物线、直线解析式的求法，圆的切线的性质，30°直角三角形的性质．
压轴题．
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