试题

我们通过计算发现：抛物线y=x²+2x-1的顶点（-1，-2）在抛物线y=-x²+2x+1上，同时抛物线y=-x²+2x+1的顶点（1，2）也在抛物线y=x²+2x-1上，这时我们称这两条抛物线是相关的．
（1）问：抛物线y=x²-2x-1与抛物线y=-x²-2x+1是否相关，并说明理由．
（2）如图，已知抛物线C：y=

1

8

（x+1）²-2，顶点为M．
①若有一动点P的坐标为（m，2），现将抛物线C绕点P（m，2）旋转180°得到新的抛物线C′，且抛物线C与新的抛物线C′相关，求抛物线C′的解析式．
②若抛物线C′与C相关，顶点为N，现以MN为斜边作等腰直角△MNQ，问y轴上是否存在满足要求的点Q？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线y=x²-2x-1的顶点坐标为：（1，-2）；
抛物线y=-x²-2x+1的顶点坐标为：（-1，2）；
①当x=1时，y=-x²-2x+1=-1-2+1=-2，∴点（1，-2）在抛物线y=-x²-2x+1上；
②当x=-1时，y=x²-2x-1=1+2-1=2，∴点（-1，2）在抛物线y=x²-2x-1上；
因此，抛物线y=x²-2x-1与抛物线y=-x²-2x+1相关．

（2）①抛物线C：y=

1

8

（x+1）²-2的顶点M（-1，-2）；
由于抛物线C′是抛物线C绕点P（m，2）旋转180゜所得，所以抛物线C、C′的顶点关于点P对称，
∴抛物线C′的顶点坐标M′（

2m+1

2

，6），抛物线C′：y=-

1

8

（x-

2m+1

2

）²+6；
已知抛物线C和抛物线C′相关，那么点M′必在抛物线C的函数图象上，即：
6=

1

8

（

2m+1

2

+1）²-2，解得：m₁=

13

2

、m₂=-

19

2

；
∴抛物线C′的解析式为：y=-

1

8

（x-7）²+6或y=-

1

8

（x+9）²+6．

②由①得：点N的坐标为（7，6）或（-9，6）；
已知：M（-1，-2），设点Q的坐标为（0，m），则：
当N点取（7，6）时，MN²=（7+1）²+（6+2）²=128、NQ²=（7-0）²+（6-m）²=m²-12m+85、MQ²=（-1-0）²+（-2-m）²=m²+4m+5
令，MQ²=NQ²，则 m²-12m+85=m²+4m+5，m=5
此时，MQ²+NQ²=50+50=100≠MN²
∴当N（7，6）时，不存在符合条件的Q点，使得△MNQ是等腰直角三角形；
同理可得：当N取（-9，6）时，也不存在符合条件的Q点；
综上，不存在符合条件的点Q，使得△MNQ是等腰直角三角形．
解：（1）抛物线y=x²-2x-1的顶点坐标为：（1，-2）；
抛物线y=-x²-2x+1的顶点坐标为：（-1，2）；
①当x=1时，y=-x²-2x+1=-1-2+1=-2，∴点（1，-2）在抛物线y=-x²-2x+1上；
②当x=-1时，y=x²-2x-1=1+2-1=2，∴点（-1，2）在抛物线y=x²-2x-1上；
因此，抛物线y=x²-2x-1与抛物线y=-x²-2x+1相关．

（2）①抛物线C：y=

1

8

（x+1）²-2的顶点M（-1，-2）；
由于抛物线C′是抛物线C绕点P（m，2）旋转180゜所得，所以抛物线C、C′的顶点关于点P对称，
∴抛物线C′的顶点坐标M′（

2m+1

2

，6），抛物线C′：y=-

1

8

（x-

2m+1

2

）²+6；
已知抛物线C和抛物线C′相关，那么点M′必在抛物线C的函数图象上，即：
6=

1

8

（

2m+1

2

+1）²-2，解得：m₁=

13

2

、m₂=-

19

2

；
∴抛物线C′的解析式为：y=-

1

8

（x-7）²+6或y=-

1

8

（x+9）²+6．

②由①得：点N的坐标为（7，6）或（-9，6）；
已知：M（-1，-2），设点Q的坐标为（0，m），则：
当N点取（7，6）时，MN²=（7+1）²+（6+2）²=128、NQ²=（7-0）²+（6-m）²=m²-12m+85、MQ²=（-1-0）²+（-2-m）²=m²+4m+5
令，MQ²=NQ²，则 m²-12m+85=m²+4m+5，m=5
此时，MQ²+NQ²=50+50=100≠MN²
∴当N（7，6）时，不存在符合条件的Q点，使得△MNQ是等腰直角三角形；
同理可得：当N取（-9，6）时，也不存在符合条件的Q点；
综上，不存在符合条件的点Q，使得△MNQ是等腰直角三角形．