试题

题目：
青果学院如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，C点的坐标为（0，4）．
（1）求A′点的坐标；
（2）求过C，A′，A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式．
答案
青果学院解：（1）过点A′作A′D垂直于x轴，垂足为D，则四边形OB′A′D为矩形．
在△A′DO中，∵A′D=OA′·sin∠A′OD=4×sin60°=2
3
，
OD=A′B′=AB=2，
∴点A′的坐标为（2，2
3
）；

（2）∵C（0，4）在抛物线上，
∴c=4，
∴y=ax2+bx+4，
∵A（4，0），A′（2，2
3
）在抛物线y=ax2+bx+4上，
∴
16a+4b+4=0
4a+2b+4=2
3
，
解得，
a=
1-
3
2
b=2
3
-3
，
故所求抛物线的解析式为：y=
1-
3
2
x2+（2
3
-3）x+4．
青果学院解：（1）过点A′作A′D垂直于x轴，垂足为D，则四边形OB′A′D为矩形．
在△A′DO中，∵A′D=OA′·sin∠A′OD=4×sin60°=2
3
，
OD=A′B′=AB=2，
∴点A′的坐标为（2，2
3
）；

（2）∵C（0，4）在抛物线上，
∴c=4，
∴y=ax2+bx+4，
∵A（4，0），A′（2，2
3
）在抛物线y=ax2+bx+4上，
∴
16a+4b+4=0
4a+2b+4=2
3
，
解得，
a=
1-
3
2
b=2
3
-3
，
故所求抛物线的解析式为：y=
1-
3
2
x2+（2
3
-3）x+4．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）由题意可知，∠A′OA的度数和旋转角的度数相同，可过A′作x轴的垂线，在构建的直角三角形中可根据OA′的长和∠A′OA的度数求出A′的坐标；
（2）根据C，A′，A三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换等知识点，难度不大．
压轴题；探究型．
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