试题

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

×4=2，BC=OB·sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴点B的坐标是（-2，2

3

）．

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，
将A（4，0），B（-2，2

3

）代入，得

16a+4b=0 4a-2b=2 3 .

，
解得：

a = 3 6 b= - 2 3 3 .

∴此抛物线的解析式为y=

3

6

x2-

2 3

3

x．

（3）存在．
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，
设点P的坐标为（2，y），
①若OB=OP，
则2²+|y|²=4²，解得y=±2

3

．
当y=-2

3

时，在Rt△POD中，∠POD=90°，
sin∠POD=

PD

OP

=

2 3

4

=

3

2

．
∴∠POD=60°．
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P，O，B三点在同一条直线上，
∴y=-2

3

不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为（2，2

3

）．
②若OB=PB，则4²+|y-2

3

|²=4²，解得y=2

3

．
∴点P的坐标是（2，2

3

）．
③若OP=PB，则2²+|y|²=4²+|y-2

3

|²，解得y=2

3

．
∴点P的坐标是（2，2

3

）．
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2

3

）．
解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

×4=2，BC=OB·sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴点B的坐标是（-2，2

3

）．

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，
将A（4，0），B（-2，2

3

）代入，得

16a+4b=0 4a-2b=2 3 .

，
解得：

a = 3 6 b= - 2 3 3 .

∴此抛物线的解析式为y=

3

6

x2-

2 3

3

x．

（3）存在．
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，
设点P的坐标为（2，y），
①若OB=OP，
则2²+|y|²=4²，解得y=±2

3

．
当y=-2

3

时，在Rt△POD中，∠POD=90°，
sin∠POD=

PD

OP

=

2 3

4

=

3

2

．
∴∠POD=60°．
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P，O，B三点在同一条直线上，
∴y=-2

3

不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为（2，2

3

）．
②若OB=PB，则4²+|y-2

3

|²=4²，解得y=2

3

．
∴点P的坐标是（2，2

3

）．
③若OP=PB，则2²+|y|²=4²+|y-2

3

|²，解得y=2

3

．
∴点P的坐标是（2，2

3

）．
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2

3

）．