试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与一次函数y=

3

3

x+m经过点A（0，3），且抛物线的顶点坐标为C（1，4），过A点做x轴的平行线交抛物线于D点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接DC，AC，试在抛物线上找出点P，使得7S_△ACD=S_△PAD；
（3）直线y=

3

3

x+m与对称轴交于B点，试在直线AD上找出一点E，使得E到B点的长度和到直线y=

3

3

x+m的距离之和最短．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（0，3），且抛物线的顶点坐标为C（1，4），
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）如图1，
∵A（0，3），C（1，4），AD∥x轴，
∴D（2，3），
∴CF=1，
设P（x，-x²+2x+3），
∵点C是抛物线的顶点坐标，
∴点P必在x轴下方，
∵△ACD与△PAD同底，7S_△ACD=S_△PAD，
∴-（-x²+2x+3）=7，解得x=1-

11

或x=1+

11

（舍去），
∴P（1-

11

，-7）；

（3）∵点A（0，3）在直线y=

3

3

x+m上，
∴m=3，
∴直线y=

3

3

x+m的解析式为y=

3

3

x+3，
∵C（1，4），
∴直线CF的解析式为x=1，
∴B（1，

3

3

+3），
如图2，作点B关于x轴的对称点B′，过点B′作直线y=

3

3

x+m的垂线交直线AD于点E，则E点即为所求，
∵直线B′E⊥AB，
∴设直线B′E的解析式为y=-

3

x+b，
∵点B与点B′关于直线AD对称，AD∥x轴，AD的解析式为y=3，
∴B′（1，3-

3

3

），
∴3-

3

3

=-

3

+b，解得b=3+

2 3

3

，
∴直线B′E的解析式为y=-

3

x+3+

2 3

3

，
∴当y=3时，x=

2

3

，
∴E（

2

3

，3）．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（0，3），且抛物线的顶点坐标为C（1，4），
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）如图1，
∵A（0，3），C（1，4），AD∥x轴，
∴D（2，3），
∴CF=1，
设P（x，-x²+2x+3），
∵点C是抛物线的顶点坐标，
∴点P必在x轴下方，
∵△ACD与△PAD同底，7S_△ACD=S_△PAD，
∴-（-x²+2x+3）=7，解得x=1-

11

或x=1+

11

（舍去），
∴P（1-

11

，-7）；

（3）∵点A（0，3）在直线y=

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x+m上，
∴m=3，
∴直线y=

3

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x+m的解析式为y=

3

3

x+3，
∵C（1，4），
∴直线CF的解析式为x=1，
∴B（1，

3

3

+3），
如图2，作点B关于x轴的对称点B′，过点B′作直线y=

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x+m的垂线交直线AD于点E，则E点即为所求，
∵直线B′E⊥AB，
∴设直线B′E的解析式为y=-

3

x+b，
∵点B与点B′关于直线AD对称，AD∥x轴，AD的解析式为y=3，
∴B′（1，3-

3

3

），
∴3-

3

3

=-

3

+b，解得b=3+

2 3

3

，
∴直线B′E的解析式为y=-

3

x+3+

2 3

3

，
∴当y=3时，x=

2

3

，
∴E（

2

3

，3）．