试题

如图，抛物线y=ax²-2ax+b与x轴交于A、B两点，交y轴负半轴于点C，已知B（3，0），tan∠OAC=3．

（1）求抛物线解析式；
（2）将抛物线作适当平移，平移后的抛物线始终经过点C，设平移后的抛物线交x轴于M、N两点，若S_△CMN=2S_△CAB，求平移后的抛物线的解析式；
（3）已知D点是抛物线的顶点，E是抛物线在第三象限部分上的点，是否存在这样的点E，使点E关于直线BC的对称点恰好在直线BD上？若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由抛物线y=ax²-2ax+b知，对称轴x=1，已知B（3，0），则A（-1，0）；
在Rt△OAC中，OA=1、tan∠OAC=3，则：OC=3OA=3，即 C（0，-3）；
将A（-1，0）、C（0，-3）代入抛物线y=ax²-2ax+b中，得：

a+2a+b=0 b=-3

，
解得

a=1 b=-3

故抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）依题意，设平移后的抛物线解析式：y=x²+ax-3，M（m，0）、N（n，0），则：m+n=-a、mn=-3；
∵S_△CMN=2S_△CAB，
∴MN=2AB=8，即：
|m-n|=

(m+n)2-4mn

=8，代入数据，得：

a2+12

=8，
解得：a=±2

13

；
故平移后的抛物线解析式：y=x²+2

13

x-3或y=x²-2

13

x-3．

（3）由（1）知，y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则：D（1，-4）；
连接DC，并延长交BE的延长线于F，如右图；
∵点E关于BC的对称点在直线BD上，
∴直线BE、BD关于直线BC对称；
过C作抛物线对称轴的垂线，设垂足为G；
由C（0，-3）、D（1，-4）可知，CG=GD=1，即△CGD是等腰直角三角形，∠GCD=45°；
又∵OB=OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，即∠OCB=∠BCG=45°；
∴∠BCD=∠BCG+∠GCD=90°，
∵直线BE、BD关于直线BC对称，
∴E、D关于点C对称，由C（0，-3）、D（1，-4）知：F（-1，-2）；
设直线BE的解析式为：y=kx+b，代入B（3，0）、F（-1，-2），得：

-k+b=-2 3k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=- 3 2

∴直线BE：y=

1

2

x-

3

2

，联立抛物线的解析式，有：

y= 1 2 x- 3 2 y=x2-2x-3

，
解得

x1=3 y1=0

、

x2=- 1 2 y2=- 7 4

∴E（-

1

2

，-

7

4

）．
解：（1）由抛物线y=ax²-2ax+b知，对称轴x=1，已知B（3，0），则A（-1，0）；
在Rt△OAC中，OA=1、tan∠OAC=3，则：OC=3OA=3，即 C（0，-3）；
将A（-1，0）、C（0，-3）代入抛物线y=ax²-2ax+b中，得：

a+2a+b=0 b=-3

，
解得

a=1 b=-3

故抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）依题意，设平移后的抛物线解析式：y=x²+ax-3，M（m，0）、N（n，0），则：m+n=-a、mn=-3；
∵S_△CMN=2S_△CAB，
∴MN=2AB=8，即：
|m-n|=

(m+n)2-4mn

=8，代入数据，得：

a2+12

=8，
解得：a=±2

13

；
故平移后的抛物线解析式：y=x²+2

13

x-3或y=x²-2

13

x-3．

（3）由（1）知，y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则：D（1，-4）；
连接DC，并延长交BE的延长线于F，如右图；
∵点E关于BC的对称点在直线BD上，
∴直线BE、BD关于直线BC对称；
过C作抛物线对称轴的垂线，设垂足为G；
由C（0，-3）、D（1，-4）可知，CG=GD=1，即△CGD是等腰直角三角形，∠GCD=45°；
又∵OB=OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，即∠OCB=∠BCG=45°；
∴∠BCD=∠BCG+∠GCD=90°，
∵直线BE、BD关于直线BC对称，
∴E、D关于点C对称，由C（0，-3）、D（1，-4）知：F（-1，-2）；
设直线BE的解析式为：y=kx+b，代入B（3，0）、F（-1，-2），得：

-k+b=-2 3k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=- 3 2

∴直线BE：y=

1

2

x-

3

2

，联立抛物线的解析式，有：

y= 1 2 x- 3 2 y=x2-2x-3

，
解得

x1=3 y1=0

、

x2=- 1 2 y2=- 7 4

∴E（-

1

2

，-

7

4

）．