试题

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x²+bx+c经过原点O和点P，已知矩形的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）．当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N．
（1）你认为∠AMP的大小会随点M位置的变化而变化吗？若变化，说明理由，若不变，求出∠AMP的大小．    
（2）把△MPN的面积S用t表示出来．  
（3）若△MPN的面积S=

21

8

，求此时图象过M、N两点的一次函数解析式；若E是此时抛物线MN段上的一动点，当三角形MNE面积最大时，E点的坐标是多少？（结果可直接写出）

解：（1）由题意得，点P的坐标为（t，0），
∵抛物线y=x²+bx+c经过原点O和点P，
∴

c=0 t2+bt+c=0

，
解答

b=-t c=0

，
∴抛物线解析式为y=x²-tx，
∵A（1，0），
∴x=1时，y=1-t，
∴AM=t-1，AP=t-1，
∴AM=AP，
∴∠AMP=45°是定值，∠AMP的大小不会随点M位置的变化而变化；

（2）设CD与MP交点为Q，
易求直线MP的解析式为y=x-t，
∴NQ=（4-t）-（4²-4t）=3t-12，
∴S_△MNP=S_△MNQ+S_△PNQ，
=

1

2

（3t-12）×（t-1），
=

3

2

t²-

15

2

t+6，
即S=

3

2

t²-

15

2

t+6；

（3）S=

21

8

时，

3

2

t²-

15

2

t+6=

21

8

，
整理得，4t²-20t+9=0，
解得t₁=

1

2

（舍去），t₂=

9

2

，
x=1时，y=1²-

9

2

×1=-

7

2

，
x=4时，y=4²-

9

2

×4=-2，
∴M（1，-

7

2

），N（4，-2），
设直线MN的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=- 7 2 4k+b=-2

，
解得

k= 1 2 b=-4

，
∴直线MN的解析式为y=

1

2

x-4；
∵点M、N在抛物线y=x²-tx图象上，
∴点M（1，1-t），N（4，16-4t），
设直线MN的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=1-t 4k+b=16-4t

，
解得

k=5-t b=-4

，
∴直线MN的解析式为y=（5-t）x-4，
如图，设点E的横坐标为x，过点E作EF∥y轴交MN于F，
则EF=（5-t）x-4-（x²-tx）=-x²+5x-4，
∴△MNE的面积=

1

2

EF·|y_N-y_M|=

1

2

（-x²+5x-4）×（4-1）=-

3

2

（x-

5

2

）²+

123

8

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴x=

5

2

时，△MNE面积最大，
此时，y=（

5

2

）²-

5

2

t=

25

4

-

5

2

t，
∴点E的坐标为（

5

2

，

25

4

-

5

2

t）．
解：（1）由题意得，点P的坐标为（t，0），
∵抛物线y=x²+bx+c经过原点O和点P，
∴

c=0 t2+bt+c=0

，
解答

b=-t c=0

，
∴抛物线解析式为y=x²-tx，
∵A（1，0），
∴x=1时，y=1-t，
∴AM=t-1，AP=t-1，
∴AM=AP，
∴∠AMP=45°是定值，∠AMP的大小不会随点M位置的变化而变化；

（2）设CD与MP交点为Q，
易求直线MP的解析式为y=x-t，
∴NQ=（4-t）-（4²-4t）=3t-12，
∴S_△MNP=S_△MNQ+S_△PNQ，
=

1

2

（3t-12）×（t-1），
=

3

2

t²-

15

2

t+6，
即S=

3

2

t²-

15

2

t+6；

（3）S=

21

8

时，

3

2

t²-

15

2

t+6=

21

8

，
整理得，4t²-20t+9=0，
解得t₁=

1

2

（舍去），t₂=

9

2

，
x=1时，y=1²-

9

2

×1=-

7

2

，
x=4时，y=4²-

9

2

×4=-2，
∴M（1，-

7

2

），N（4，-2），
设直线MN的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=- 7 2 4k+b=-2

，
解得

k= 1 2 b=-4

，
∴直线MN的解析式为y=

1

2

x-4；
∵点M、N在抛物线y=x²-tx图象上，
∴点M（1，1-t），N（4，16-4t），
设直线MN的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=1-t 4k+b=16-4t

，
解得

k=5-t b=-4

，
∴直线MN的解析式为y=（5-t）x-4，
如图，设点E的横坐标为x，过点E作EF∥y轴交MN于F，
则EF=（5-t）x-4-（x²-tx）=-x²+5x-4，
∴△MNE的面积=

1

2

EF·|y_N-y_M|=

1

2

（-x²+5x-4）×（4-1）=-

3

2

（x-

5

2

）²+

123

8

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴x=

5

2

时，△MNE面积最大，
此时，y=（

5

2

）²-

5

2

t=

25

4

-

5

2

t，
∴点E的坐标为（

5

2

，

25

4

-

5

2

t）．