试题

在平面直角坐标系内，二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4），直线y=x+1与二次函数的图象交于A、D两点，
（1）求出二次函数的解析式以及D点的坐标；
（2）点P是直线AD上方抛物线上的一点，连结PB，交AD于点E，使

PE

BE

=

4

5

，求出符合要求的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结PD，
①直接写出PD与AD的关系；
②点M是平面内一点，使△PDM∽△ADB，求符合要求的所有点M的坐标．

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c图象经过A（-1，0），B（4，0），C（0，4），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，
所以，二次函数的解析式为y=-x²+3x+4，
联立

y=-x2+3x+4 y=x+1

，
解得

x1=-1 y1=0

（为点A坐标），

x2=3 y2=4

，
所以，点D的坐标为（3，4）；

（2）设PF∥AD交x轴于F，
则

AF

AB

=

PE

BE

，
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AB=4-（-1）=5，
∴

AF

5

=

4

5

，
解得AF=4，
∴OF=4+1=5，
点F的坐标为（-5，0），
易求直线PF的解析式为y=x+5，
联立

y=-x2+3x+4 y=x+5

，
解得

x=1 y=6

，
所以，点P的坐标为（1，6）；

（3）①设直线PD的解析式为y=kx+b，
则

k+b=6 3k+b=4

，
解得

k=-1 b=7

，
所以，直线PD的解析式为y=-x+7，
∴直线PD与x轴的负方向夹角为45°，
∵直线y=x+1与x轴的正方向夹角为45°，
∴PD⊥AD；
②根据勾股定理，AD=

(3+1)2+42

=4

2

，
∵P（1，6），D（3，4），
∴PD=

(1-3)2+(6-4)2

=2

2

，
∵∠DAB=45°，PD与x轴负方向夹角为45°，
∴PM∥y轴或PM∥x轴，
∵△PDM∽△ADB，
∴

PM

AB

=

PD

AD

，
即

PM

5

=

2 2

4 2

，
解得PM=

5

2

，
①点M在PD下方时，PM∥y轴，点M的纵坐标为6-

5

2

=

7

2

，
此时，点M的坐标为M₁（1，

7

2

），
②点M在PD上方时，PM∥x轴，点M的横坐标为1+

5

2

=

7

2

，
此时，点M的坐标为M₂（

7

2

，6），
综上所述，点M的坐标为（1，

7

2

）或（

7

2

，6）时，△PDM∽△ADB．