试题

如图，在平面直角坐标系中，以A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．
（1）若抛物线y=ax²+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另一个交点E的坐标；
（2）若动直线MN（MN∥x轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时，

MN·OP

MN+OP

的值最大，并求出最大值；
（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似，求实数t的值．

解：（1）由A（3，0）可知OA=3，又圆的半径为5得OB=2，OC=8，
所以B（-2，0）C（8，0），易得D（0，-4），
设y=a（x+2）（x-8），
从而-4=a（0+2）（0-8），
解得a=

1

4

，
所以y=

1

4

（x+2）（x-8），
即y=

1

4

x²-

3

2

x-4，
又-

b

2a

=3，点D和点E关于直线x=3对称，
所以E（6，-4）；

（2）N（0，t-4），因为MN∥OC，
所以

MN

DN

=

OC

OD

，即MN=2t，
又OP=8-2t，所以

MN·OP

MN+OP

=

2t(8-2t)

2t+8-2t

=-

1

2

（t-2）²+2
所以当t=2时取最大值2；

（3）若△PCM∽△OCD，
则

PC

PM

=

OC

OD

，即

2t

4-t

=

8

4

，
解得t=2；
若△MCP∽△OCD，则

PC

MC

=

DC

OC

，
即

2t

4 5 - 5 t

=

4 5

8

，
解得t=

20

9

即当t=2或t=

20

9

时，以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似．
解：（1）由A（3，0）可知OA=3，又圆的半径为5得OB=2，OC=8，
所以B（-2，0）C（8，0），易得D（0，-4），
设y=a（x+2）（x-8），
从而-4=a（0+2）（0-8），
解得a=

1

4

，
所以y=

1

4

（x+2）（x-8），
即y=

1

4

x²-

3

2

x-4，
又-

b

2a

=3，点D和点E关于直线x=3对称，
所以E（6，-4）；

（2）N（0，t-4），因为MN∥OC，
所以

MN

DN

=

OC

OD

，即MN=2t，
又OP=8-2t，所以

MN·OP

MN+OP

=

2t(8-2t)

2t+8-2t

=-

1

2

（t-2）²+2
所以当t=2时取最大值2；

（3）若△PCM∽△OCD，
则

PC

PM

=

OC

OD

，即

2t

4-t

=

8

4

，
解得t=2；
若△MCP∽△OCD，则

PC

MC

=

DC

OC

，
即

2t

4 5 - 5 t

=

4 5

8

，
解得t=

20

9

即当t=2或t=

20

9

时，以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似．