试题

如图①，直线y=x-3与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A在x轴负半轴上，且

OA

OC

=

1

3

，抛物线经过A、B、C三点，D为线段AB中点，点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连接DP交BC于点E．
（1）写出A、B、C三点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；
（3）连接PC、PB（如图②），△PBC是否有最大面积？若有，求出△PBC的最大面积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由．

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得-3a=-3，解得a=1．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）E₁（2，-1），E₂（3-

2

， -

2

），E₃（1，-2）．

（3）作PF⊥x轴于点F，设△PBC的面积为S，则
S=S_{四边形OCPF}+S_△PFB-S_△OBC
=

1

2

（3-n）m+

1

2

（3-m）（-n）-

1

2

×3×3，
=

3

2

m-

3

2

n-

9

2

，
又∵点P是抛物线上的点，
且m＞0，n＜0
∴n=m²-2m-3（0＜m＜3）
∴S=-

3

2

m2+

9

2

m
=-

3

2

(m-

3

2

)2+

27

8

∴当m=

3

2

时，△PBC的面积最大，最大面积为

27

8

，
此时P点坐标为(

3

2

， -

15

4

)．
解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得-3a=-3，解得a=1．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）E₁（2，-1），E₂（3-

2

， -

2

），E₃（1，-2）．

（3）作PF⊥x轴于点F，设△PBC的面积为S，则
S=S_{四边形OCPF}+S_△PFB-S_△OBC
=

1

2

（3-n）m+

1

2

（3-m）（-n）-

1

2

×3×3，
=

3

2

m-

3

2

n-

9

2

，
又∵点P是抛物线上的点，
且m＞0，n＜0
∴n=m²-2m-3（0＜m＜3）
∴S=-

3

2

m2+

9

2

m
=-

3

2

(m-

3

2

)2+

27

8

∴当m=

3

2

时，△PBC的面积最大，最大面积为

27

8

，
此时P点坐标为(

3

2

， -

15

4

)．