试题

已知抛物线a、b的解析式分别是关于y与x的关系式：y=x2-2mx-

m2

2

与y=-x2-2mx+

m2+2

2

．
（1）请用2种不同的方法，判断抛物线a、b中哪条经过点E，哪条经过点F？
（2）当m等于某数时，这两条抛物线中，只有一条与x轴交于A、B（A点在左）两个不同的点，问是哪条抛物线经过A、B两点？为什么？并求出A、B两点的坐标；
（3）当m=1时，直线x=n在两抛物线的对称轴之间平行移动，并且分别与两抛物线交于C、D两点，设线段CD的长为w，那么请写出w与n之间的函数关系，并问当n为什么值时w最大，最大值是多少？

解：（1）方法一：∵抛物线a二次项系数1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线b二次项系数-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线b经过点E，抛物线a经过点F；
方法二：m≠0时，
∵抛物线a的常数项-

m2

2

＜0，
∴抛物线a与y轴的负半轴相交，
∵抛物线b的常数项

m2+2

2

＞0，
∴抛物线b与y轴的正半轴相交，
∴∴抛物线b经过点E，抛物线a经过点F；

（2）∵

m2+2

2

=

m2

2

+1≥1，
∴抛物线b与y轴正半轴相交，
又∵-1＜0，
∴抛物线b不论m取何值，与x轴始终有两个交点，
当m=0时，抛物线a为y=x²，与x轴只有一个交点为坐标原点O，
∴抛物线b经过A、B两点，
m=0时，抛物线b为y=-x²+1，
令y=0，则-x²+1=0，
解得x₁=-1，x₂=1，
∵A点在左，
∴A（-1，0），B（1，0）；

（3）当m=1时，抛物线a、b分别为y=x²-2x-

1

2

，y=-x²-2x+

3

2

，
∴两抛物线的对称轴分别为直线x=-

-2

2×1

=1，
直线x=-

-2

2×(-1)

=-1，
∵直线x=n在两抛物线的对称轴之间平行移动，
∴w=CD=（-n²-2n+

3

2

）-（n²-2n-

1

2

）=-n²-2n+

3

2

-n²+2n+

1

2

=-2n²+2，
即w=-2n²+2，
∴当n=0时，w最大，最大值是2．
解：（1）方法一：∵抛物线a二次项系数1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线b二次项系数-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线b经过点E，抛物线a经过点F；
方法二：m≠0时，
∵抛物线a的常数项-

m2

2

＜0，
∴抛物线a与y轴的负半轴相交，
∵抛物线b的常数项

m2+2

2

＞0，
∴抛物线b与y轴的正半轴相交，
∴∴抛物线b经过点E，抛物线a经过点F；

（2）∵

m2+2

2

=

m2

2

+1≥1，
∴抛物线b与y轴正半轴相交，
又∵-1＜0，
∴抛物线b不论m取何值，与x轴始终有两个交点，
当m=0时，抛物线a为y=x²，与x轴只有一个交点为坐标原点O，
∴抛物线b经过A、B两点，
m=0时，抛物线b为y=-x²+1，
令y=0，则-x²+1=0，
解得x₁=-1，x₂=1，
∵A点在左，
∴A（-1，0），B（1，0）；

（3）当m=1时，抛物线a、b分别为y=x²-2x-

1

2

，y=-x²-2x+

3

2

，
∴两抛物线的对称轴分别为直线x=-

-2

2×1

=1，
直线x=-

-2

2×(-1)

=-1，
∵直线x=n在两抛物线的对称轴之间平行移动，
∴w=CD=（-n²-2n+

3

2

）-（n²-2n-

1

2

）=-n²-2n+

3

2

-n²+2n+

1

2

=-2n²+2，
即w=-2n²+2，
∴当n=0时，w最大，最大值是2．