试题

题目：
青果学院如图，已知点O为坐标原点，∠AOB=30°，∠B=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括O，B点）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积；若不存在，请说明理由．
答案
青果学院解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=
3
，
过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，
则OD=
3
cos30°=
3
2
，BD=
1
2
BO=
3
2
，
∴点B的坐标为（
3
2
，
3
2
）；

（2）将A（2，0）、B（
3
2
，
3
2
）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，
得：
4a+2b+c=0
9
4
a+
3
2
b+c=
3
2
c=0
，
解方程组，
a=-
2
3
3
b=
4
3
3
c=0
，
∴所求二次函数解析式是y=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x；

（3）设存在点C（x，-
2
3
3
x2+
4
3
3
x）（其中0＜x＜
3
2
），使四边形ABCO面积最大，而△OAB面积为定值，
只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．
过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，
则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
1
2
|CF|·|OE|+
1
2
|CF|·|ED|=
1
2
|CF|·|OD|=
3
4
|CF|，
而|CF|=yC-yF=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x-
3
3
x=-
2
3
3
x2+
3
x，
∴S△OBC=-
3
2
x2+
3
3
4
x，
∴当x=
3
4
时，△OBC面积最大，最大面积为
9
3
32
．
此时C点坐标为（
3
4
，
5
3
8
），
故四边形ABCO的最大面积为：
25
3
32
．
青果学院解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=
3
，
过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，
则OD=
3
cos30°=
3
2
，BD=
1
2
BO=
3
2
，
∴点B的坐标为（
3
2
，
3
2
）；

（2）将A（2，0）、B（
3
2
，
3
2
）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，
得：
4a+2b+c=0
9
4
a+
3
2
b+c=
3
2
c=0
，
解方程组，
a=-
2
3
3
b=
4
3
3
c=0
，
∴所求二次函数解析式是y=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x；

（3）设存在点C（x，-
2
3
3
x2+
4
3
3
x）（其中0＜x＜
3
2
），使四边形ABCO面积最大，而△OAB面积为定值，
只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．
过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，
则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
1
2
|CF|·|OE|+
1
2
|CF|·|ED|=
1
2
|CF|·|OD|=
3
4
|CF|，
而|CF|=yC-yF=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x-
3
3
x=-
2
3
3
x2+
3
x，
∴S△OBC=-
3
2
x2+
3
3
4
x，
∴当x=
3
4
时，△OBC面积最大，最大面积为
9
3
32
．
此时C点坐标为（
3
4
，
5
3
8
），
故四边形ABCO的最大面积为：
25
3
32
．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB=
3
，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，利用已知条件可以求出OD，BD，也就求出B的坐标；
（2）根据待定系数法把A，B，O三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式；
（3）设存在点C（x，-
2
3
3
x2+
4
3
3
x），使四边形ABCO面积最大，而△OAB面积为定值，只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
1
2
|CF|·|OE|+
1
2
|CF|·|ED|=
1
2
|CF|·|OD|=
3
4
|CF|，而|CF|=yC-yF=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x-
3
3
x=-
2
3
3
x2+
3
x，这样可以得到S△OBC=-
3
2
x2+
3
3
4
x，利用二次函数就可以求出△OBC面积最大值，也可以求出C的坐标．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解函数的最大值等知识，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
压轴题；探究型．
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