试题

如图，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，3），C点在x轴的正半轴上，且到原点的距离为1．点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同的速度分别向x轴、y轴的正方向作匀速直线运动，直线PQ交直线AB于D．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线及直线AB解析式；
（2）设AP的长为m，△PBQ的面积为S，求出S关于m的函数关系式．
（3）作PE⊥AB于E，当P、Q运动时，线段DE的长是否改变？若改变请说明理由，若不改变，请求出DE的长；
（4）有一个以AB为边的，且由两个与△AOB全等的三角形拼结而成的平行四边形ABST，试求出T点的坐标（画出图形，直接写出结果，不需求解过程）．

解：（1）由题意得，C（1，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
则

9a-3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴设抛物线解析式为y=-x²-2x+3，
设直线AB的解析式为y=kx+n（k≠0），
则

-3k+n=0 n=3

，
解得

k=1 n=3

，
∴直线AB的解析式为y=x+3；

（2）∵AP的长为m，点P、Q的速度相同，
∴OP=3-m，AP=QB=m，
∴△PBQ的面积为S=

1

2

QB·OP=

1

2

m（3-m）=-

1

2

m²+

3

2

m，
故S关于m的函数关系式为：S=-

1

2

m²+

3

2

m；

（3）∵A（-3，0）、B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
过点Q作QF⊥AB交AB的延长线于F，
则∠QFB=∠ABO=45°，
∴∠QBF=∠PAE，
在△APE和△BQF中，

∠QBF=∠PAE ∠AEP=∠F=90° AP=QB

，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF，
在△DEP和△DFQ中，

∠AEP=∠F=90° ∠PDE=∠QDF PE=QF

，
∴△DEP≌△DFQ（AAS），
∴DE=DF，
∵AB=AE+DE+DB=BF+DE+DB=2DE，
∴DE=

1

2

AB，
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

32+32

=3

2

，
∴DE=

3 2

2

；


（4）如图，AO是平行四边形的边时，点T与坐标原点重合，所以，点T的坐标是（0，0），
BO是平行四边形的边时，AT=OB=3，所以，点T的坐标是（-3，-3）．
解：（1）由题意得，C（1，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
则

9a-3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴设抛物线解析式为y=-x²-2x+3，
设直线AB的解析式为y=kx+n（k≠0），
则

-3k+n=0 n=3

，
解得

k=1 n=3

，
∴直线AB的解析式为y=x+3；

（2）∵AP的长为m，点P、Q的速度相同，
∴OP=3-m，AP=QB=m，
∴△PBQ的面积为S=

1

2

QB·OP=

1

2

m（3-m）=-

1

2

m²+

3

2

m，
故S关于m的函数关系式为：S=-

1

2

m²+

3

2

m；

（3）∵A（-3，0）、B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
过点Q作QF⊥AB交AB的延长线于F，
则∠QFB=∠ABO=45°，
∴∠QBF=∠PAE，
在△APE和△BQF中，

∠QBF=∠PAE ∠AEP=∠F=90° AP=QB

，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF，
在△DEP和△DFQ中，

∠AEP=∠F=90° ∠PDE=∠QDF PE=QF

，
∴△DEP≌△DFQ（AAS），
∴DE=DF，
∵AB=AE+DE+DB=BF+DE+DB=2DE，
∴DE=

1

2

AB，
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

32+32

=3

2

，
∴DE=

3 2

2

；


（4）如图，AO是平行四边形的边时，点T与坐标原点重合，所以，点T的坐标是（0，0），
BO是平行四边形的边时，AT=OB=3，所以，点T的坐标是（-3，-3）．