试题

如图在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点A坐标为（0，-2），点B在抛物线y=ax²+ax-2上．
（1）点B的坐标为；抛物线的解析式为
（2）设（1）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

解：（1）∵AC=

5

，CO=1，
∴AO=

5-1

=2，
如图1，作BF⊥OC，
∵∠AOC=∠BFC，∠CAO=∠BCF，
∴∠ACO=∠CBF，
在△BFC与△COA中，
∵

∠CAO=∠BCF AC=BC ∠ACO=∠CBF

∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
将B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2；
故答案为：（-3，1），y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（2）∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴其顶点坐标D（-

1

2

，-

17

8

），
设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0）
∴

- 1 2 k+b=- 17 8 -3k+b=1

，解得

k=- 5 4 b=- 11 4

，
∴BD的关系式为y=-

5

4

x-

11

4

．
∵直线BD和x轴交点为E，
∴点E（-

11

5

，0），CE=

6

5

，
∴S_△DBC=S_CBE+S_CED=

1

2

×

6

5

×1+

1

2

×

6

5

×

17

8

=

1

2

×

6

5

×（1+

17

8

）=

15

8

；

（3）如图2，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
过点C″作C″P⊥y轴于点P，
在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵∠AMB'=∠ANB=90°，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴∠ABN=∠B′AM，
在Rt△AB′M与Rt△BAN．
∵

∠AB′M=∠BAN AB=AB′ ∠ABN=∠B′AM

，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
将点B′、C′的坐标代入y=x²+x-2，可知点B′、C′在抛物线上．