试题

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-

1

3

x²+bx+c的图象经过点A（-1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．
（1）b=，c=；对称轴是直线；
（2）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．

解：（1）根据题意得：

- 1 3 -b+c=1 - 4 3 +2b+c=2

，
解得：

b= 2 3 c=2

，
则所求的二次函数的解析式是：y=-

1

3

x²+

2

3

x+2，
对称轴是：x=1；

（2）直线OA的解析式是y=-x，得点C的坐标是（1，-1）．
∵AB=

10

，BC=

10

，
∴AB=BC，
又∵OA=

2

，OC=

2

，
∴OA=OC，
∴∠ABO=∠CBO．
由直线OB的表达式y=x，得点D的坐标为（1，1）．
由直线AB的表达式：y=

1

3

x+

4

3

，
得直线与x轴的交点E的坐标为（-4，0）．
∵△POB与△BCD相似，∠ABO=∠CBO，
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．
①当∠BOP=∠BDC时，由∠BDC=135°，得∠BOP=135°．
∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．
∴点P的坐标为（-4，0）．
②当∠BOP=∠BCD时，
由△BOP∽△BCD，得：

BP

BO

=

BD

BC

．
而BO=2

2

，BD=

2

，BC=

10

，
∴BP=

2 10

5

，
又∵BE=2

10

，
∴PE=

8 10

5

，
作PH⊥x轴，垂足是H，BF⊥x轴，垂足是F．
∵PH∥BF，
∴

PH

BF

=

PE

BE

=

EH

EF

，而BF=2，EF=6，
∴PH=

8

5

，EH=

24

5

．
∴OH=

4

5

．
∴点P的坐标是（

4

5

，

8

5

）．
综上所述，点P的坐标为（-4，0）或（

4

5

，

8

5

）．