试题

题目：
青果学院如图，以AC为直径的⊙D与x轴交于A、B两点，A、B的坐标分别为（-2，0）和（1，0），BC=
3
．设直线AC与直线x=2交于点E．
（1）求以直线x=2为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数解析式，并判断此抛物线是否过点E，说明理由；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．
答案
解：（1）∵AC为⊙D的直径，
∴BC⊥AB，
∴由已知可得点C（1，
3
），
设抛物线解析式是y=a（x-2）2+k，
将（0，0）、（1，
3
）得：
4a+k=0
a+k=
3
，
解得：
a=-
3
3
k=
4
3
3
，
故抛物线的解析式为：y=-
3
3
(x-2)2+
4
3
3
，
设直线x=2与x轴交于点F，则CB∥EF，
∴△ACB∽△AEF，
∴
AB
AF
=
CB
EF
，即
3
4
=
3
EF
，
∴EF=
4
3
3
，
∴E（2，
4
3
3
），
当x=2时，y=-
3
3
(2-2)2+
4
3
3
=
4
3
3
，
∴抛物线经过点E．
青果学院
（2）抛物线与x轴的另一个交点N（4，0），设M（x，y），
过C，M分别作x轴的垂线，垂足为G，H，
S△CMN=SCGHM+S△HMN-S△CGN
=
1
2
（y+
3
）（x-1）+
1
2
y（4-x）-
1
2
×3×
3

=
3y
2
+
3
2
x-2
3

=
3
2
[-
3
3
(x-2)2+
4
3
3
]+
3
2
x-2
3

=-
3
2
x2+
5
3
2
x-2
3

=-
3
2
（x-
5
2
）2+
9
3
8
（1≤x≤4），
当x=
5
2
时，S△CMN的最大值是
9
8
3
．
解：（1）∵AC为⊙D的直径，
∴BC⊥AB，
∴由已知可得点C（1，
3
），
设抛物线解析式是y=a（x-2）2+k，
将（0，0）、（1，
3
）得：
4a+k=0
a+k=
3
，
解得：
a=-
3
3
k=
4
3
3
，
故抛物线的解析式为：y=-
3
3
(x-2)2+
4
3
3
，
设直线x=2与x轴交于点F，则CB∥EF，
∴△ACB∽△AEF，
∴
AB
AF
=
CB
EF
，即
3
4
=
3
EF
，
∴EF=
4
3
3
，
∴E（2，
4
3
3
），
当x=2时，y=-
3
3
(2-2)2+
4
3
3
=
4
3
3
，
∴抛物线经过点E．
青果学院
（2）抛物线与x轴的另一个交点N（4，0），设M（x，y），
过C，M分别作x轴的垂线，垂足为G，H，
S△CMN=SCGHM+S△HMN-S△CGN
=
1
2
（y+
3
）（x-1）+
1
2
y（4-x）-
1
2
×3×
3

=
3y
2
+
3
2
x-2
3

=
3
2
[-
3
3
(x-2)2+
4
3
3
]+
3
2
x-2
3

=-
3
2
x2+
5
3
2
x-2
3

=-
3
2
（x-
5
2
）2+
9
3
8
（1≤x≤4），
当x=
5
2
时，S△CMN的最大值是
9
8
3
．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）首先判断BC⊥AB，然后求出点C坐标，根据抛物线的对称轴为x=2，可设抛物线解析式是y=a（x-2）2+k，将（0，0）及点C的坐标代入可得出a、k的值，继而得出抛物线解析式，求出点E的坐标后，代入即可判断此抛物线是否过点E．
（2）根据题意画出图形，抛物线与x轴的另一个交点N（4，0），设M（x，y），过C，M分别作x轴的垂线，垂足为G，H，则根据S△CMN=SCGHM+S△HMN-S△CGN，可得△CMN的面积关于x、y的表达式，将y=-
3
3
(x-2)2+
4
3
3
，代入可得△CMN的面积关于x的表达式，利用配方法求最值即可．
本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，难点在第二问，关键是作出图形，得出面积关于x的表达式，要求同学们熟练配方法求二次函数最值的应用．
压轴题．
找相似题