试题

已知二次函数y=-9x²-6ax-a²+2a；
（1）当此抛物线经过原点，且对称轴在y轴左侧．
①求此二次函数关系式；
②设此抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P，O为坐标原点．现有一直线l：x=m随着m的变化从点A向点O平行移动（与点O不重合），在运动过程中，直线l与抛物线交于点Q，求△OPQ的面积S关于m的函数关系式；
（2）若二次函数在-

1

3

≤x≤

1

3

时有最大值-4，求a的值．

解：（1）①∵y=-9x²-6ax-a²+2a经过原点，
∴0=-a²+2a，
解得：a₁=0，a₂=2，
又∵抛物线的对称轴为x=-

a

3

，且对称轴在y轴左侧，
∴a=2，
∴y=-9x²-12x．
②当-

4

3

≤m≤-

2

3

时，QM=-9m²-12m，OM=-m，OF=

2

3

，PF=4，
S_△OPQ=S_梯形QMFP+S_△OPF-S_△OQM=3m²+2m； 
当-

2

3

≤m＜0时，QN=-9m²-12m，FN=

2

3

+m，PF=4，
S_△OPQ'=S_梯形PFNQ'+S_△ONQ'-S_△OPF=-3m²-2m；

（2）对称轴x=-

a

3

，
①当-

1

3

≤-

a

3

≤

1

3

时，则-1≤a≤1，y_最大=2a=-4，a=-2，不成立；
②当-

a

3

≤-

1

3

时，则a≥1，当-

1

3

≤x≤

1

3

时，y随x的增大而减小，
当x=-

1

3

，y_最大=-a²+4a-1=-4，a=2+

7

，而a=2-

7

舍去；
③当-

a

3

≥

1

3

时，则a≤-1，当-

1

3

≤x≤

1

3

时，y随x的增大而增大，
当x=

1

3

，y最大=-a²-1=-4，a=-

3

，而a=

3

舍去
所以a=2+

7

或a=-

3

解：（1）①∵y=-9x²-6ax-a²+2a经过原点，
∴0=-a²+2a，
解得：a₁=0，a₂=2，
又∵抛物线的对称轴为x=-

a

3

，且对称轴在y轴左侧，
∴a=2，
∴y=-9x²-12x．
②当-

4

3

≤m≤-

2

3

时，QM=-9m²-12m，OM=-m，OF=

2

3

，PF=4，
S_△OPQ=S_梯形QMFP+S_△OPF-S_△OQM=3m²+2m； 
当-

2

3

≤m＜0时，QN=-9m²-12m，FN=

2

3

+m，PF=4，
S_△OPQ'=S_梯形PFNQ'+S_△ONQ'-S_△OPF=-3m²-2m；

（2）对称轴x=-

a

3

，
①当-

1

3

≤-

a

3

≤

1

3

时，则-1≤a≤1，y_最大=2a=-4，a=-2，不成立；
②当-

a

3

≤-

1

3

时，则a≥1，当-

1

3

≤x≤

1

3

时，y随x的增大而减小，
当x=-

1

3

，y_最大=-a²+4a-1=-4，a=2+

7

，而a=2-

7

舍去；
③当-

a

3

≥

1

3

时，则a≤-1，当-

1

3

≤x≤

1

3

时，y随x的增大而增大，
当x=

1

3

，y最大=-a²-1=-4，a=-

3

，而a=

3

舍去
所以a=2+

7

或a=-

3