题目:
如图,函数L
1:y=a(x-2)
2+4(x>0)的图象顶点为M,过点B(4,0),将图象绕原点旋转180°后得到函数L
2的图象,顶点为N,与x轴交于点A.
(1)分别求出L
1、L
2的函数解析式;
(2)P为抛物线L
1上一动点,连接PO交L
2于Q,连接PN、QN、PM、QM.求:平行四边形PMQN的面积S与P点横坐标x(0<x≤4)间关系式;
(3)求出平行四边形PMQN的面积S的最大值,及此时P点的坐标.
答案
解:(1)把B(4,0)代入y=a(x-2)
2+4得:a=-1,
则抛物线L
1:y=-x
2+4x,抛物线L
2:y=x
2+4x;
(2)根据P点位置进行分类讨论:
(i)若P点在抛物线的BM段(2<x≤4)时,S
△POM=
+
-
=x
2-2x,
则S
平行四边形PMQN=4S
△POM=4x
2-8x;
(ii)若P点在抛物线的OM段(0<x<2)时,S
△POM=
+
-
=-x
2+2x,
则S
平行四边形PMQN=4S
△POM=-4x
2+8x;
(3)当2<x≤4时,y随x的增大而增大,当x=4时,S最大=32,
当0<x<2时,y随x的增大而减小,当x=1时,S最大=4,
∴当x=4时,S最大=32,此时P点坐标为(4,0).
解:(1)把B(4,0)代入y=a(x-2)
2+4得:a=-1,
则抛物线L
1:y=-x
2+4x,抛物线L
2:y=x
2+4x;
(2)根据P点位置进行分类讨论:
(i)若P点在抛物线的BM段(2<x≤4)时,S
△POM=
+
-
=x
2-2x,
则S
平行四边形PMQN=4S
△POM=4x
2-8x;
(ii)若P点在抛物线的OM段(0<x<2)时,S
△POM=
+
-
=-x
2+2x,
则S
平行四边形PMQN=4S
△POM=-4x
2+8x;
(3)当2<x≤4时,y随x的增大而增大,当x=4时,S最大=32,
当0<x<2时,y随x的增大而减小,当x=1时,S最大=4,
∴当x=4时,S最大=32,此时P点坐标为(4,0).