试题

如图，抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过原点和点A（4，0），顶点在直线y=-

1

2

x-1上，P为抛物线上的一个动点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当△POA面积为5时，求点P坐标；
（3）当点P在x轴上方时，若cos∠OPA=

2 5

5

，⊙M经过点O，A，P，求过A点且与⊙M相切的直线解析式．

解：（1）由对称性可知，抛物线的对称轴为直线x=2，
在y=-

1

2

x-1中，当x=2时，y=-2，
∴顶点坐标为（2，-2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-2，
把O（0，0）代入解得，a=

1

2

∴y=

1

2

(x-2)2-2，
即y=

1

2

x2-2x；
（2）∵S△AOP=

1

2

OA·|yP|=5，
∴|yP|=

5

2

，
又∵y_P≥2，∴yP=

5

2

，
在y=

1

2

x2-2x中，当y=

5

2

时，

1

2

x2-2x=

5

2

，
解得，x₁=-1，x₂=5，
∴P(-1，

5

2

)或P(5，

5

2

)；

（3）如图，连接MO、MA，过点M作MC⊥OA于C，设过点A的切线与y轴交于点D，
可证∠OPA=∠AMC，
∴cos∠AMC=cos∠OPA=

MC

MA

=

2 5

5

，
∵MC⊥OA，
∴AC=

1

2

OA=2，
由勾股定理可得MC=4，
∵AD是⊙M的切线，∴AD⊥AM，
∴△AMC≌△DAO，
∴OD=AC=2，D（0，-2），
可求得直线AD的解析式为y=

1

2

x-2．
解：（1）由对称性可知，抛物线的对称轴为直线x=2，
在y=-

1

2

x-1中，当x=2时，y=-2，
∴顶点坐标为（2，-2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-2，
把O（0，0）代入解得，a=

1

2

∴y=

1

2

(x-2)2-2，
即y=

1

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x2-2x；
（2）∵S△AOP=

1

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OA·|yP|=5，
∴|yP|=

5

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，
又∵y_P≥2，∴yP=

5

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，
在y=

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x2-2x中，当y=

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时，

1

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x2-2x=

5

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，
解得，x₁=-1，x₂=5，
∴P(-1，

5

2

)或P(5，

5

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)；

（3）如图，连接MO、MA，过点M作MC⊥OA于C，设过点A的切线与y轴交于点D，
可证∠OPA=∠AMC，
∴cos∠AMC=cos∠OPA=

MC

MA

=

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，
∵MC⊥OA，
∴AC=

1

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OA=2，
由勾股定理可得MC=4，
∵AD是⊙M的切线，∴AD⊥AM，
∴△AMC≌△DAO，
∴OD=AC=2，D（0，-2），
可求得直线AD的解析式为y=

1

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x-2．