试题

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点C，求△BCM的面积．
（3）在图中的抛物线上是否还存在点P，使得S_△PMB=S_△BCM？如果不存在，说明理由；如存在，请直接写出P点的个数．

解：（1）根据题意，可得-m=1，k=-4，
解得m=-1，k=-4，
把m=-1，k=-4代入函数解析式，得
y=（x-1）²-4，
令y=0，得（x-1）²-4=0，
解得x=3或x=-1，
∴A点坐标是（-1，0），B点坐标是（3，0）；

（2）令x=0，得y=-3，
∴抛物线和y轴的交点C的坐标是（0，-3），
∵B（3，0），C（0，-3），M（1，-4），
∴BC=

18

，BM=

20

，CM=

2

，
∴BC²+CM²=BM²，
∴△BCM是直角三角形，
∴S_△BCM=

1

2

×

2

×

18

=3；

（3）过点C作BM的平行线，可观察与抛物线有两个交点，
故点P的个数是2．
解：（1）根据题意，可得-m=1，k=-4，
解得m=-1，k=-4，
把m=-1，k=-4代入函数解析式，得
y=（x-1）²-4，
令y=0，得（x-1）²-4=0，
解得x=3或x=-1，
∴A点坐标是（-1，0），B点坐标是（3，0）；

（2）令x=0，得y=-3，
∴抛物线和y轴的交点C的坐标是（0，-3），
∵B（3，0），C（0，-3），M（1，-4），
∴BC=

18

，BM=

20

，CM=

2

，
∴BC²+CM²=BM²，
∴△BCM是直角三角形，
∴S_△BCM=

1

2

×

2

×

18

=3；

（3）过点C作BM的平行线，可观察与抛物线有两个交点，
故点P的个数是2．