试题

如图，已知矩形OABC，点P在边OA上（不与端点重合），点Q在边CO上（不与端点重合）．
（1）如图（1），若∠BPQ=90°，且△OPQ与△PAB和△QPB相似，请写出表示这三个三角形相似的式子，并探究此时线段OQ、QB、BA之间的数量关系．
（2）若∠PQB=90°，且△OPQ与△PAB、△QPB都相似，如图（2），请重新写出表示这三个三角形相似的式子，并证明AB：OA=2

3

：3．
（3）在（1）中，若OA=8

2

，OC=8，OP=

2

CQ．以矩形OABC的两边OA、OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，如图（3），若某抛物线顶点为P，点B在抛物线上．
①求此抛物线的解析式．
②过线段BP上一动点M（点M与点P、B不重合），作y轴的平行线交抛物线于点N，若记点M的横坐标为m，试求线段MN的长L与m之间的函数关系式，画出该函数的示意图，并指出m取何值时，L有最大值，最大值是多少？

解：（1）△OPQ和△ABP中，∵∠OPQ+∠APB=90°，且∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPQ=∠ABP；
△BPQ和△ABP中，∵BC∥OA，∴∠APB=∠CBP＞∠PBQ，
若两个三角形相似，则：∠PBQ=∠ABP；
∴∠OPQ=∠ABP=∠PBQ
又∵∠O=∠A=∠QPB=90°，
∴△OPQ∽△ABP∽△PBQ．
在△OPQ和△PBQ中，∠OQP=∠PQB，过P作PD⊥BQ于D，则 OQ=QD；
同理，可得：BD=AB，
∴BQ=QD+BD=OQ+AB．

（2）同（1）可确定∠QBP=∠ABP，由图知：∠QPO=∠BPA
∴∠OQP=∠ABP=∠QBP，又∠BQP=∠QOP=∠BAP=90°
∴△OPQ∽△APB∽△QPB．
由（1）的结论知：∠OQP=∠QBC=∠QBP=∠ABP，且∠ABC=90°，
∴∠QBC=30°，则 BQ：CB=2：

3

=2

3

：3；
由△QPB∽△APB，且BP=BP，所以△QPB≌△APB，得：AB=BQ；
∴AB：BC=2

3

：3，即 AB：OA=2

3

：3．

（3）①由（1）的解答过程知：若△OPQ与△PAB和△QPB相似，则必须满足的条件是∠QPB=90゜；
此时∠OQP=∠BQP、∠QBP=∠ABP，由（1）题图可知：OP=AP=PD；
∴OP=AP=

1

2

OA=4

2

，即 P（4

2

，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x-4

2

）²，代入点B（8

2

，8），得：
a（8

2

-4

2

）²=8，解得 a=

1

4

∴抛物线的解析式为：y=

1

4

（x-4

2

）²=

1

4

x²-2

2

x+8．
②设直线BP的解析式为：y=kx+b，代入B（8

2

，8）、P（4

2

，0），得：

8 2 k+b=8 4 2 k+b=0

，解得

k= 2 b=-8

∴直线BP：y=

2

x-8．
已知点M的横坐标为m，则 M（m，

2

m-8）、N（m，

1

4

m²-2

2

m+8），则有：
MN的长：L=

2

m-8-（

1

4

m²-2

2

m+8）=-

1

4

m²+3

2

m-16（4

2

＜m＜8

2

）（如右图）
配方，得：L=-

1

4

（m²-12

2

m+72）+²=-

1

4

（m-6

2

）²+2，
∴当m取6

2

时，L有最大值，且最大值为 2．
解：（1）△OPQ和△ABP中，∵∠OPQ+∠APB=90°，且∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPQ=∠ABP；
△BPQ和△ABP中，∵BC∥OA，∴∠APB=∠CBP＞∠PBQ，
若两个三角形相似，则：∠PBQ=∠ABP；
∴∠OPQ=∠ABP=∠PBQ
又∵∠O=∠A=∠QPB=90°，
∴△OPQ∽△ABP∽△PBQ．
在△OPQ和△PBQ中，∠OQP=∠PQB，过P作PD⊥BQ于D，则 OQ=QD；
同理，可得：BD=AB，
∴BQ=QD+BD=OQ+AB．

（2）同（1）可确定∠QBP=∠ABP，由图知：∠QPO=∠BPA
∴∠OQP=∠ABP=∠QBP，又∠BQP=∠QOP=∠BAP=90°
∴△OPQ∽△APB∽△QPB．
由（1）的结论知：∠OQP=∠QBC=∠QBP=∠ABP，且∠ABC=90°，
∴∠QBC=30°，则 BQ：CB=2：

3

=2

3

：3；
由△QPB∽△APB，且BP=BP，所以△QPB≌△APB，得：AB=BQ；
∴AB：BC=2

3

：3，即 AB：OA=2

3

：3．

（3）①由（1）的解答过程知：若△OPQ与△PAB和△QPB相似，则必须满足的条件是∠QPB=90゜；
此时∠OQP=∠BQP、∠QBP=∠ABP，由（1）题图可知：OP=AP=PD；
∴OP=AP=

1

2

OA=4

2

，即 P（4

2

，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x-4

2

）²，代入点B（8

2

，8），得：
a（8

2

-4

2

）²=8，解得 a=

1

4

∴抛物线的解析式为：y=

1

4

（x-4

2

）²=

1

4

x²-2

2

x+8．
②设直线BP的解析式为：y=kx+b，代入B（8

2

，8）、P（4

2

，0），得：

8 2 k+b=8 4 2 k+b=0

，解得

k= 2 b=-8

∴直线BP：y=

2

x-8．
已知点M的横坐标为m，则 M（m，

2

m-8）、N（m，

1

4

m²-2

2

m+8），则有：
MN的长：L=

2

m-8-（

1

4

m²-2

2

m+8）=-

1

4

m²+3

2

m-16（4

2

＜m＜8

2

）（如右图）
配方，得：L=-

1

4

（m²-12

2

m+72）+²=-

1

4

（m-6

2

）²+2，
∴当m取6

2

时，L有最大值，且最大值为 2．