如图四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4sqrt{2}，0），动点P、Q同时从点O出发，点P沿着折线OACB的方向运动；点Q沿着折线OBCA的方向运动，设运动时间为t．（1）求-青果题库-青果学院

题目：

如图四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4

2

，0），动点P、Q同时从点O出发，点P沿着折线OACB的方向运动；点Q沿着折线OBCA的方向运动，设运动时间为t．
（1）求出经过O、A、C三点的抛物线的解析式．
（2）若点Q的运动速度是点P的2倍，点Q运动到边BC上，连接PQ交AB于点R，当AR=3

2

时，请求出直线PQ的解析式．
（3）若点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度青果学院

，两点运动到相遇停止．设△OPQ的面积为S．请求出S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围．
（4）判断在（3）的条件下，当t为何值时，△OPQ的面积最大？

答案

解：（1）设AB、OC相交于点D．
∵四边形ACBO是正方形，
∴OD=CD=

1

2

OC，OD⊥CD，∠OAD=∠AOC=45°，AB=OC，∠OAC=90°，
∴∠ADC=90°，DO=DA，AB=4

2

，OA=AC=BC=OB=4，
∵OC=4

2

，
∴DO=DA=2

2

，
∴点A（2

2

，2

2

），
设经过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．由题意得

-

b

2a

=2

2

4ac-b2

4a

=2

2

0=32a+4

2

b+c

，
解得：

a=-

2

4

b=2

c=0

．
故经过O、A、C三点的抛物线的解析式为：y=-

2

4

x2+2x；

（2）设t秒后点Q运动到边BC上，连接PQ交AB于点R．
∴OP=t，OB+BQ=2t
∴AP=4-t，BQ=2t-4
∵AR=3

2

∴BR=

2

∵△ARP∽△BRQ
∴

AR

BR

=

AP

BQ

∴

4-t

2t-4

=

3

2

解得：t=

16

7

∴OP=

16

7

，P（

8

2

7

，

8

2

7

）
BQ=

4

7

，Q（

16

2

7

，-

12

2

7

）
设PQ的解析式为y=kx+b，由题意得

8

2

7

=

8

2

7

k+b

-

12

2

7

=

16

2

7

k+b

解得：

k=-

5

2

b=4

2

∴PQ的解析式为：y=-

5

2

x+4

2

；

（3）由题意得青果学院

t+2t=16
解得：t=

16

3

∴PQ相遇的时间为

16

3

在整个运动过程中S与t的函数关系式有三种情况：
S=

1

2

t·2t=t2 (0≤t≤2)

1

2

t·4=2t (2＜t≤4)

-6t+32 (4＜t≤

16

3

)

（4）在（3）的条件下，当t=4时，△OPQ的面积最大．
∴S_△OPQ最大=8
解：（1）设AB、OC相交于点D．
∵四边形ACBO是正方形，
∴OD=CD=

1

2