试题

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为

5

的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线y=ax²+ax-2上．
（1）点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）抛物线的解析式为；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵C（-1，0），AC=

5

，
∴OA=

AC2-OC2

=

5-1

=2，
∴A（0，2）；
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC与△CFB中，
∵

∠FBC=∠ACO BC=AC ∠BCF=∠CAO

，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐标为（-3，1），
故答案为：（0，2），（-3，1）；

（2）∵把B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
解得a=

1

2

，
∴抛物线解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
故答案为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点D（-

1

2

，-

17

8

），
设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：

-3k+b=1 - 1 2 k+b=- 17 8

，
解得

k=- 5 4 b=- 11 4

．
∴BD的关系式为y=-

5

4

x-

11

4

．
设直线BD和x 轴交点为E，则点E（-

11

5

，0），CE=

6

5

．
∴S_△DBC=

1

2

×

6

5

×（1+

17

8

）=

15

8

；

（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，
过点P₁作P₁M⊥x轴，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCF，∠P₁MC=∠BFC=90°，
∴△MP₁C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P₁M=BF=1，
∴P₁（1，-1）；
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，
过点P₂作P₂N⊥y轴，同理可证△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，
∴P₂（2，1），
经检验，点P₁（1，-1）与点P₂（2，1）都在抛物线y=

1

2

x²+

1

2

x-2上．