题目:

如图,抛物线的顶点坐标是A(1,4),且经过点B(-
,-
),与横轴交于C,D两点(点C在点D的左边)
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AD,判断AD与BD的位置关系,并说明理由;
(3)设点P是直线BD上方且位于抛物线上的一动点,过点P作PQ∥AD交直线BD于点Q,求PQ的最大值.
答案
解:(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)
2+4,
将点B的坐标代入可得:-
=a(-
-1)
2+4,
解得:a=-1,
故抛物线解析式为:y=-(x-1)
2+4=-x
2+2x+3;
(2)令y=0,则-x
2+2x+3=0,
解得:x
1=-1,x
2=3,
∴C的坐标为(-1,0),D的坐标为(3,0),
则AD=
=2
,BD=
=
,AB=
=
,
∵AD
2+BD
2=AB
2,
∴△ABD是直角三角形,
∴AD⊥BD;
(3)设直线BD的解析式为y=kx+b,
将B、D的坐标代入可得:
,
解得:
,
则直线BD的解析式为y=
x-
,
过点A作AE∥y轴,交BD于点E,作PF∥y轴,交BD于点F,

则点E的坐标为(1,-1),AE=5,cos∠EAD=
=
,
设点P的坐标为(x,-x
2+2x+3),则点F的坐标为(x,
x-
),PF=-x
2+2x+3-(
x-
)=-x
2+
x+
,
在Rt△PFQ中,PQ=PFcos∠FPQ=PFcos∠EAD
=
(-x
2+
x+
)
=-
(2x
2-3x-9)
=-
(2x
2-3x)+
=-
(x-
)
2+
,
当x=
时,PQ取得最大,最大值为
.
解:(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)
2+4,
将点B的坐标代入可得:-
=a(-
-1)
2+4,
解得:a=-1,
故抛物线解析式为:y=-(x-1)
2+4=-x
2+2x+3;
(2)令y=0,则-x
2+2x+3=0,
解得:x
1=-1,x
2=3,
∴C的坐标为(-1,0),D的坐标为(3,0),
则AD=
=2
,BD=
=
,AB=
=
,
∵AD
2+BD
2=AB
2,
∴△ABD是直角三角形,
∴AD⊥BD;
(3)设直线BD的解析式为y=kx+b,
将B、D的坐标代入可得:
,
解得:
,
则直线BD的解析式为y=
x-
,
过点A作AE∥y轴,交BD于点E,作PF∥y轴,交BD于点F,

则点E的坐标为(1,-1),AE=5,cos∠EAD=
=
,
设点P的坐标为(x,-x
2+2x+3),则点F的坐标为(x,
x-
),PF=-x
2+2x+3-(
x-
)=-x
2+
x+
,
在Rt△PFQ中,PQ=PFcos∠FPQ=PFcos∠EAD
=
(-x
2+
x+
)
=-
(2x
2-3x-9)
=-
(2x
2-3x)+
=-
(x-
)
2+
,
当x=
时,PQ取得最大,最大值为
.