试题

已知，Rt△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠A=90°，点B、C都在x轴上，且点A的坐标为（2，

3

），∠ABC=30°，若抛物线y=ax²+bx+c恰好过A、B、C三点，且与y轴交于点D．
（1）求点B、C的坐标和抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若点E是抛物线y=ax²+bx+c对称轴上一动点，试确定当点E在何处时，△AEC的周长最小？最小是多少？
（3）若点P为抛物线在第一象限图象上的动点，试确定当点P在何处时，四边形PDBC的面积最大？并求出最大面积．

解：（1）过点A作AF⊥x轴于点F，在Rt△AFB中，
∵∠ABC=30°，点A的坐标为（2，

3

），
∴OF=2，AF=

3

，∠ACF=60°，
∴BF=

AF

tan30°

=3，
∴OB=BF-OF=3-2=1，
∴点B的点标为（-1，0），
在Rt△AFC中，由∠ACF=60°，
∴FC=

AF

tan60°

=1，
∴点C的坐标为（3，0），
将A、B、C三点坐标分别代入y=ax²+bx+c得：

4a+2b+c= 3 a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得：

a=- 3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
∴该抛线的解析式为：y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

…（4分）

（2）∵y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

=-

3

3

（x-1）²+

4 3

3

，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴点B、C关于直线x=1对称，
求△AEC的周长的最小值，即为求AE+EC+AC的最小值，
由对称性知，AE+EC的最小值为AB的长，即当点E运动到AB与抛物线对称轴x=1的交点处时，△AEC的周长最小，
由B（-1，0），A（2，

3

）可得AB所在直线的解析式为：y=

3

3

x+

3

3

，…（7分）
当x=1时，y=

2 3

3

，
故点E的坐标为（1，

2 3

3

），
此时，△AEC的周长最小，最小值为AB+AC=2

3

+2…（8分）

（3）连接结PO，设点P的坐标为（t，-

3

3

t2+

2 3

3

t+

3

）其中O＜t＜3，
过点P分别向 x轴，y轴作垂线，垂足分别为N、G，
由（1）知，点D的坐标为（0，

3

）…（9分）
则S_{四边形PDBC}=S_△POC+S_△POD+S_△BOD
=

1

2

×OC×PN+

1

2

×OD×PG+

1

2

×OB×OD
=

1

2

×3×（-

3

3

t2+

2 3

3

t+

3

）+

1

2

×

3

×t+

1

2

×1×

3

=-

3

2

(t-

3

2

)2+

25 3

8

…（11分）
故当t=

3

2

时，四边形PDBC的面积最大，最大面积为

25 3

8

，
此时点P的坐标为（

3

2

，

5 3

4

）．…（12分）
解：（1）过点A作AF⊥x轴于点F，在Rt△AFB中，
∵∠ABC=30°，点A的坐标为（2，

3

），
∴OF=2，AF=

3

，∠ACF=60°，
∴BF=

AF

tan30°

=3，
∴OB=BF-OF=3-2=1，
∴点B的点标为（-1，0），
在Rt△AFC中，由∠ACF=60°，
∴FC=

AF

tan60°

=1，
∴点C的坐标为（3，0），
将A、B、C三点坐标分别代入y=ax²+bx+c得：

4a+2b+c= 3 a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得：

a=- 3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
∴该抛线的解析式为：y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

…（4分）

（2）∵y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

=-

3

3

（x-1）²+

4 3

3

，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴点B、C关于直线x=1对称，
求△AEC的周长的最小值，即为求AE+EC+AC的最小值，
由对称性知，AE+EC的最小值为AB的长，即当点E运动到AB与抛物线对称轴x=1的交点处时，△AEC的周长最小，
由B（-1，0），A（2，

3

）可得AB所在直线的解析式为：y=

3

3

x+

3

3

，…（7分）
当x=1时，y=

2 3

3

，
故点E的坐标为（1，

2 3

3

），
此时，△AEC的周长最小，最小值为AB+AC=2

3

+2…（8分）

（3）连接结PO，设点P的坐标为（t，-

3

3

t2+

2 3

3

t+

3

）其中O＜t＜3，
过点P分别向 x轴，y轴作垂线，垂足分别为N、G，
由（1）知，点D的坐标为（0，

3

）…（9分）
则S_{四边形PDBC}=S_△POC+S_△POD+S_△BOD
=

1

2

×OC×PN+

1

2

×OD×PG+

1

2

×OB×OD
=

1

2

×3×（-

3

3

t2+

2 3

3

t+

3

）+

1

2

×

3

×t+

1

2

×1×

3

=-

3

2

(t-

3

2

)2+

25 3

8

…（11分）
故当t=

3

2

时，四边形PDBC的面积最大，最大面积为

25 3

8

，
此时点P的坐标为（

3

2

，

5 3

4

）．…（12分）