试题

抛物线y=ax²-2ax+b（a＞0）交x轴于A，B两点，交y轴于C；且满足OA·OB-OC=0，若C（0，-3）
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，将此抛物线顶点沿直线y=-x-3平移，平移后的抛物线与x轴交于A′、B′两点  若2≤A′B′≤6，试求出点M的横坐标的取值范围；
（3）过点C的直线y=

3

4t

x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=

2

t，且0＜t＜1．依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）设A点坐标为（x₁，0），（x₂，0）．
∵OA·OB-OC=0，
∴|x₁x₂|-3=0，
则|x₁x₂|=3，
又∵x₁＜0，x₂＞0，
∴x₁x₂＜3，
∴

b

a

＜3，
又∵b=-3，
∴

-3

a

=-3，
∴a=1，
故函数解析式为y=x²-2x-3．

（2）设M（m，-m-3），平移后抛物线y=（x-m）²-m-3，
当A′B′=2时利用根与系数关系可得M点横坐标x=-2，
当A′B′=6时利用根与系数关系可得M点横坐标x=6，
故-2≤x≤6．

（3）当H在QB之间：
①△COQ∽△QHP，t=

9

20

；
②△COQ∽△PHQ，t=

-15+3 41

8

，
当H在OQ之间：
∵PH∥OQ，
∴当Q与B重合时，△COQ∽△PHQ，t=

3

4

．
解：（1）设A点坐标为（x₁，0），（x₂，0）．
∵OA·OB-OC=0，
∴|x₁x₂|-3=0，
则|x₁x₂|=3，
又∵x₁＜0，x₂＞0，
∴x₁x₂＜3，
∴

b

a

＜3，
又∵b=-3，
∴

-3

a

=-3，
∴a=1，
故函数解析式为y=x²-2x-3．

（2）设M（m，-m-3），平移后抛物线y=（x-m）²-m-3，
当A′B′=2时利用根与系数关系可得M点横坐标x=-2，
当A′B′=6时利用根与系数关系可得M点横坐标x=6，
故-2≤x≤6．

（3）当H在QB之间：
①△COQ∽△QHP，t=

9

20

；
②△COQ∽△PHQ，t=

-15+3 41

8

，
当H在OQ之间：
∵PH∥OQ，
∴当Q与B重合时，△COQ∽△PHQ，t=

3

4

．