试题

已知抛物线的形状与抛物线y=-

2

3

x2相同，且对称轴为x=-

7

2

，交x轴于A、D两点（A在D左边），交y轴于B（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），E为抛物线上在第二象限的点，连OE、AE，将线段OE沿射线EA平移，使E与A对应，O与C对应，设四边形OEAC的面积为S，问是否存在这样的点E，使S=24？若存在，请求出E点坐标，并进一步判断此时四边形OEAC的形状；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），在（2）的基础上，设E（x_E，y_E），C（x_C，y_C），当E点在抛物线上运动时，下列两个结论：①|x_E|+|x_C|的值不变；②|y_E|+|y_C|的值不变，有且只有一个正确，请判断正确的结论并证明求值．

解：（1）设函数解析式为y=-

2

3

（x+

7

2

）²+c，
将B（0，-4）代入解析式得，-4=-

2

3

（0+

7

2

）²+c，
解得，c=

25

6

，
函数解析式为y=-

2

3

（x+

7

2

）²+

25

6

；

（2）依题意知OE平行且等于AC，
∴四边形OEAC为平行四边形，
又∵OA为平行四边形OEAC的对角线，
∴S_·OECA=2·S_△AEO=24，即S_△AEO=12，
∴

1

2

·OA·|y_E|=12，
又∵A（-6，0），OA=6，
y_E=-

2

3

（x+

7

2

）²+

25

6

，
∴

1

2

×6×[-

2

3

（x+

7

2

）²+

25

6

]=12，
解得，x₁=-3，x₂=-4，
∴E₁（-3，4）或E₂（-4，4），
∴这样的点有两个．
当E₁（-3，4）时，有AE=OE，此时平行四边形为菱形
当E₂（-4，4）时，AE≠OE，AE不垂直于OE，此时四边形OEAC为平行四边形；

（3）|x_E|+|x_C|的值不变，|x_E|+|x_C|=6，
证明：过E作EM⊥AO于M，过C作CN⊥AO于N，

则|x_E|=OM，|x_C|=ON，
∵四边形OEAC是平行四边形，
∴OE∥AC，OE=AC，
∴△EMO≌△CNA，
∴OM=AN，
∴OM+ON=AN+ON=OA=6，即|x_E|+|x_C|=6．
解：（1）设函数解析式为y=-

2

3

（x+

7

2

）²+c，
将B（0，-4）代入解析式得，-4=-

2

3

（0+

7

2

）²+c，
解得，c=

25

6

，
函数解析式为y=-

2

3

（x+

7

2

）²+

25

6

；

（2）依题意知OE平行且等于AC，
∴四边形OEAC为平行四边形，
又∵OA为平行四边形OEAC的对角线，
∴S_·OECA=2·S_△AEO=24，即S_△AEO=12，
∴

1

2

·OA·|y_E|=12，
又∵A（-6，0），OA=6，
y_E=-

2

3

（x+

7

2

）²+

25

6

，
∴

1

2

×6×[-

2

3

（x+

7

2

）²+

25

6

]=12，
解得，x₁=-3，x₂=-4，
∴E₁（-3，4）或E₂（-4，4），
∴这样的点有两个．
当E₁（-3，4）时，有AE=OE，此时平行四边形为菱形
当E₂（-4，4）时，AE≠OE，AE不垂直于OE，此时四边形OEAC为平行四边形；

（3）|x_E|+|x_C|的值不变，|x_E|+|x_C|=6，
证明：过E作EM⊥AO于M，过C作CN⊥AO于N，

则|x_E|=OM，|x_C|=ON，
∵四边形OEAC是平行四边形，
∴OE∥AC，OE=AC，
∴△EMO≌△CNA，
∴OM=AN，
∴OM+ON=AN+ON=OA=6，即|x_E|+|x_C|=6．