试题

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点M的坐标为（1，-2）与y轴交于点C（0，-

3

2

），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=

2

2

y₁，求y₁与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由；
②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标．

解：（1）∵抛物线的顶点为M（1，-2）可设y=a（x-1）²-2，
由点（0，-

3

2

）得：a-2=-

3

2

，
∴a=

1

2

．
∴

MP

MB

=

MQ

MP

，即y=

1

2

x2-x-

3

2

．

（2）在x₂=3中，由y=0，得

1

2

x2-x-

3

2

=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A为（-1，0），B为（3，0）．
∵M（1，-2），
∴∠MBO=45°，MB=2

2

，
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ，
又∵∠M=∠M，
∴△MPQ∽△MPB，
∴

MP

MB

=

MQ

MP

，
∴MP2=MB·MQ，
即22+(x-1)2=2

2

·

2

2

y1，
∴y1=

1

2

(x-1)2+2（0≤x＜3）．

（3）①存在点Q，使QP=QB，即△PQB是以PB为底的等腰三角形，
作PB的垂直平分线交BM于Q，则QP=QB．
∴∠QPB=∠MBP=45°
又∵∠MPQ=45°，
∴此时MP⊥x轴，
∴P为（1，0），
∴PB=2．
∴Q的坐标为（2，-1）．
②使△BMF是等腰三角形的F点有：
F₁（1，0），F₂（1，-2+2

2

），F₃（1，-2-2

2

），F₄（1，2）．
解：（1）∵抛物线的顶点为M（1，-2）可设y=a（x-1）²-2，
由点（0，-

3

2

）得：a-2=-

3

2

，
∴a=

1

2

．
∴

MP

MB

=

MQ

MP

，即y=

1

2

x2-x-

3

2

．

（2）在x₂=3中，由y=0，得

1

2

x2-x-

3

2

=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A为（-1，0），B为（3，0）．
∵M（1，-2），
∴∠MBO=45°，MB=2

2

，
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ，
又∵∠M=∠M，
∴△MPQ∽△MPB，
∴

MP

MB

=

MQ

MP

，
∴MP2=MB·MQ，
即22+(x-1)2=2

2

·

2

2

y1，
∴y1=

1

2

(x-1)2+2（0≤x＜3）．

（3）①存在点Q，使QP=QB，即△PQB是以PB为底的等腰三角形，
作PB的垂直平分线交BM于Q，则QP=QB．
∴∠QPB=∠MBP=45°
又∵∠MPQ=45°，
∴此时MP⊥x轴，
∴P为（1，0），
∴PB=2．
∴Q的坐标为（2，-1）．
②使△BMF是等腰三角形的F点有：
F₁（1，0），F₂（1，-2+2

2

），F₃（1，-2-2

2

），F₄（1，2）．