试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-1）三点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若该抛物线的顶点为D，求直线AD的解析式；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．

解：（1）由题意，知：抛物线与x轴的交点为A（-1，0）、B（3，0），
可设其解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标，得：
-1=a（0+1）（0-3），
解得：a=

1

3

故抛物线的解析式：y=

1

3

（x+1）（x-3）=

1

3

x²-

2

3

x-1．

（2）由（1）知，抛物线的解析式：y=

1

3

x²-

2

3

x-1=

1

3

（x-1）²-

4

3

；
∴D（1，-

4

3

）；
设直线AD的解析式为：y=kx+b，代入A（-1，0）、D（1，-

4

3

），得：

-k+b=0 k+b=- 4 3

，解得

k=- 2 3 b=- 2 3

故直线AD的解析式：y=-

2

3

x-

2

3

．

（3）设点Q的坐标为（0，y），分两种情况讨论：
①线段AB为平行四边形的边，则QP∥x轴，且QP=AB=4，有：
1、将点Q向左平移4个单位，则P₁（-4，y），代入抛物线的解析式，得：
y=

1

3

（-4+1）（-4-3）=7，
即：P₁（-4，7）；
2、将点Q向右平移4个单位，则P₂（4，y），代入抛物线的解析式，得：
y=

1

3

（4+1）（4-3）=

5

3

，
即：P₂（4，

5

3

）；
②线段AB为平行四边形的对角线，则Q、P关于AB的中点对称，即P₃（2，-y），代入抛物线的解析式，得：
-y=

1

3

（2+1）（2-3）=-1，
即：P₃（2，-1）；
综上，满足条件的点P的坐标为（-4，7）、（4，

5

3

）、（2，-1）．
解：（1）由题意，知：抛物线与x轴的交点为A（-1，0）、B（3，0），
可设其解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标，得：
-1=a（0+1）（0-3），
解得：a=

1

3

故抛物线的解析式：y=

1

3

（x+1）（x-3）=

1

3

x²-

2

3

x-1．

（2）由（1）知，抛物线的解析式：y=

1

3

x²-

2

3

x-1=

1

3

（x-1）²-

4

3

；
∴D（1，-

4

3

）；
设直线AD的解析式为：y=kx+b，代入A（-1，0）、D（1，-

4

3

），得：

-k+b=0 k+b=- 4 3

，解得

k=- 2 3 b=- 2 3

故直线AD的解析式：y=-

2

3

x-

2

3

．

（3）设点Q的坐标为（0，y），分两种情况讨论：
①线段AB为平行四边形的边，则QP∥x轴，且QP=AB=4，有：
1、将点Q向左平移4个单位，则P₁（-4，y），代入抛物线的解析式，得：
y=

1

3

（-4+1）（-4-3）=7，
即：P₁（-4，7）；
2、将点Q向右平移4个单位，则P₂（4，y），代入抛物线的解析式，得：
y=

1

3

（4+1）（4-3）=

5

3

，
即：P₂（4，

5

3

）；
②线段AB为平行四边形的对角线，则Q、P关于AB的中点对称，即P₃（2，-y），代入抛物线的解析式，得：
-y=

1

3

（2+1）（2-3）=-1，
即：P₃（2，-1）；
综上，满足条件的点P的坐标为（-4，7）、（4，

5

3

）、（2，-1）．