试题

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点O，过点B的直线y=mx+n与抛物线相交于点C（2，y）．过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴，交直线DC于点E，交x轴于点F．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△OBC的面积；
（3）是否存在这样的点P，使得以P、C、E为顶点的三角形与△OCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点O，
∴

25a+5b+c=0 36a+6b+c=-6 c=0

，
解得

a=-1 b=5 c=0

，
故，抛物线的函数关系式为y=-x²+5x；

（2）∵C（2，y）在抛物线上，
∴-2²+5×2=y，
解得y=6，
∴C点坐标为（2，6），
∵B、C在直线y=mx+n上，
∴

6m+n=-6 2m+n=6

，
解得

m=-3 n=12

，
∴直线BC的解析式为y=-3x+12，
设BC与x轴交于点G，则-3x+12=0，
解得x=4，
所以，点G的坐标为（4，0），
S_△OBC=S_△OBG+S_△OCG，
=

1

2

×4×|-6|+

1

2

×4×6=12+12=24；

（3）存在P，使得△OCD∽△CPE．
理由如下：设P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°，
∴PE=6-n，CE=m-2，
∵C点坐标为（2，6），
∴CD=2，OD=6，
①OD与CE是对应边时，∵△OCD∽△CPE，
∴

OD

CE

=

CD

PE

，
即

6

m-2

=

2

6-n

，
解得，m=20-3n，
∵（m，n）在抛物线上，
∴

m=20-3n n=-m2+5m

，
解得

m1= 10 3 n1= 50 9

，

m2=2 n2=6

（为点C坐标），
所以，点P（

10

3

，

50

9

）；
②OD与EP是对应边时，∵△OCD∽△PCE，
∴

OD

PE

=

CD

CE

，
即

6

6-n

=

2

m-2

，
解得，n=12-3m，
∵（m，n）在抛物线上，
∴

n=12-3m n=-m2+5m

，
解得

m1=2 n1=6

（为点C坐标），

m2=6 n2=-6

，
所以，点P（6，-6），
综上所述，P点坐标为(

10

3

，

50

9

)和（6，-6）．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点O，
∴

25a+5b+c=0 36a+6b+c=-6 c=0

，
解得

a=-1 b=5 c=0

，
故，抛物线的函数关系式为y=-x²+5x；

（2）∵C（2，y）在抛物线上，
∴-2²+5×2=y，
解得y=6，
∴C点坐标为（2，6），
∵B、C在直线y=mx+n上，
∴

6m+n=-6 2m+n=6

，
解得

m=-3 n=12

，
∴直线BC的解析式为y=-3x+12，
设BC与x轴交于点G，则-3x+12=0，
解得x=4，
所以，点G的坐标为（4，0），
S_△OBC=S_△OBG+S_△OCG，
=

1

2

×4×|-6|+

1

2

×4×6=12+12=24；

（3）存在P，使得△OCD∽△CPE．
理由如下：设P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°，
∴PE=6-n，CE=m-2，
∵C点坐标为（2，6），
∴CD=2，OD=6，
①OD与CE是对应边时，∵△OCD∽△CPE，
∴

OD

CE

=

CD

PE

，
即

6

m-2

=

2

6-n

，
解得，m=20-3n，
∵（m，n）在抛物线上，
∴

m=20-3n n=-m2+5m

，
解得

m1= 10 3 n1= 50 9

，

m2=2 n2=6

（为点C坐标），
所以，点P（

10

3

，

50

9

）；
②OD与EP是对应边时，∵△OCD∽△PCE，
∴

OD

PE

=

CD

CE

，
即

6

6-n

=

2

m-2

，
解得，n=12-3m，
∵（m，n）在抛物线上，
∴

n=12-3m n=-m2+5m

，
解得

m1=2 n1=6

（为点C坐标），

m2=6 n2=-6

，
所以，点P（6，-6），
综上所述，P点坐标为(

10

3

，

50

9

)和（6，-6）．