试题

如图，抛物线y=ax²+bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）、B（4，0），∠OCA=∠OBC．
（1）抛物线的解析式为；
（2）是否存在这样的点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则点M的坐标为；若不存在，则理由为：；
（3）若⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标．

解：（1））∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=AO·BO=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2），
由题意，设抛物线解析式y=a（x-1）（x-4），
∴a（0-1）（0-4）=0，
∴a=

1

2

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（2）①当如图1时，
∵C（0，2），A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴P（3，2）；
②当如图2所示时，同①可知，P（-3，2）；
③当如图3所示时，过点P作PD⊥x轴，
∵四边形ACBP是平行四边形，
∴BD=OA=1，PD=OC=2，
∴OD=4+1=5，
∴P（5，-2）；
综上所述，点M坐标为（3，2）、（-3，2）、（5，-2）；

（3）∵A（1，0），B（4，0），
∴AB中点坐标为（

5

2

，0），
∵⊙P经过点A、B，
∴P在线段AB的中垂线上，可设P（

5

2

，y），
又∵⊙P经过点C，
∴PC=PA，
∴（

5

2

-0）²+（y-2）²=（

5

2

-1）²+（y-0）²，解得y=2，
∴圆心P的坐标为（

5

2

，2）．
故答案为：（1）：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；
（2）（3，2）、（-3，2）、（5，-2）；存在．