试题

题目：
（2011·葫芦岛）如图，在直角坐标系中，点P的坐标是（n，0）（n＞0），抛物线y=-x2+bx+c经过原点O和点P．已知正方形ABCD的三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
青果学院（1）求c，b并写出抛物线对称轴及y的最大值（用含有n的代数式表示）；
（2）求证：抛物线的顶点在函数y=x2的图象上；
（3）若抛物线与直线AD交于点N，求n为何值时，△NPO的面积为1；
（4）若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），请直接
3≤n≤4
3≤n≤4
写出n的取值范围．
（参考公式：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
）
答案
3≤n≤4

解：（1）把x=0，y=0代入y=-x2+bx+c，得c=0．
再把x=n，y=0代入y=-x2+bx，
得-n2+bn=0．
∵n＞0，
∴b=n．
∴y=-x2+nx=-（x-
n
2
）2+
n2
4
，
∴y的最大值为
n2
4
．
，（2）∵抛物线顶点为（
n
2
，
n2
4
），
把x=
n
2
代入y=x2=
n2
4
，
∴抛物线的顶点在函数y=x2的图象上．

（3）当x=2时，y=2n-4，
∴点N为（2，2n-4）．
当n=2时，P、N两点重合，△NPO不存在．
当n＞2时，解
1
2
n（2n-4）=1，得n=1±
2
．
∵n＞2，
∴n=1+
2
．
当0＜n＜2时，解
1
2
n（4-2n）=1，得n1=n2=1．
∴n=1+
2
或n=1时，△NPO的面积为1．

（4）3≤n≤4．
考点梳理
二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；三角形的面积．
（1）把抛物线经过的两个点O点和P点的坐标代入解析式就可以求出c、b的值，从而也就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出对称轴和最大值．
（2）通过（1）的解析式表示出抛物线的顶点式，再代入y=x2的解析式，就可以证明抛物线的顶点在y=x2上．
（3）由点A、点D的坐标可以表示出N的坐标，再根据n的取值范围和三角形的面积建立等量关系求出n的值．
（4）由抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），分别把A（2，2），B（3，2），C（3，3），D（2，3）中的横、纵坐标代入抛物线解析式y=-x2+nx，得n=3；n=
11
3
；n=4；n=
7
2
．因此，n的取值范围是3≤n≤4．
本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求函数的解析式及三角形面积公式的运用．
压轴题．
找相似题