试题

（2011·来宾）如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA=60°，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求抛物线的函数关系式；
（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵MO=MA=1，∠OMA=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=

3

，
∴A（1，0），B（0，

3

）；

（2）∵BC是切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=4，
∴C（-3，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将点A、B、C代入得，

a+b+c=0 c= 3 9a-3b+c=0

，
解得

a=- 3 3 b=- 2 3 3 c= 3

∴抛物线的解析式为y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

；

（3）设在对称轴上存在点D，使△BCD是等腰三角形，
对称轴为直线x=-1，设点D（-1，m），
分3种情况讨论：①BC=BD；

1+(m- 3 )2

=2

3

，
解得m=±

11

+

3

；
②BC=CD；

4+m2

=2

3

，解得m=±2

2

；
③BD=CD；

4+m2

=

1+(m- 3 )2

，解得：m=0，
∴符合条件的点D的坐标为，（-1，

11

+

3

），（-1，-

11

+

3

），（-1，2

2

），（-1，-2

2

），（-1，0）．
解：（1）∵MO=MA=1，∠OMA=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=

3

，
∴A（1，0），B（0，

3

）；

（2）∵BC是切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=4，
∴C（-3，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将点A、B、C代入得，

a+b+c=0 c= 3 9a-3b+c=0

，
解得

a=- 3 3 b=- 2 3 3 c= 3

∴抛物线的解析式为y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

；

（3）设在对称轴上存在点D，使△BCD是等腰三角形，
对称轴为直线x=-1，设点D（-1，m），
分3种情况讨论：①BC=BD；

1+(m- 3 )2

=2

3

，
解得m=±

11

+

3

；
②BC=CD；

4+m2

=2

3

，解得m=±2

2

；
③BD=CD；

4+m2

=

1+(m- 3 )2

，解得：m=0，
∴符合条件的点D的坐标为，（-1，

11

+

3

），（-1，-

11

+

3

），（-1，2

2

），（-1，-2

2

），（-1，0）．