试题

（2011·清远）如图，抛物线y=（x+1）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．

解：（1）∵抛物线y=（x+1）²+k与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）²-4，
∴抛物线的对称轴为：直线x=-1；

（2）存在．
连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，
当y=0时，（x+1）²-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∴

-3k+b=0 b=-3

，
解得：

k=-1 b=-3

，
∴直线AC的解析式为：y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
∴点P的坐标为：（-1，-2）；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
∴-3＜x＜0；
①设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），
∵AB=4，
∴S_△AMB=

1

2

×4×|（x+1）²-4|=2|（x+1）²-4|，
∵点M在第三象限，
∴S_△AMB=8-2（x+1）²，
∴当x=-1时，
即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

②设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），
过点M作MD⊥AB于D，
S_{四边形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD=

1

2

×3×1+

1

2

×（3+x）×[4-（x+1）²]+

1

2

×（-x）×[3+4-（x+1）²]
=-

3

2

（x²+3x-4）=-

3

2

（x+

3

2

）²+

75

8

，
∴当x=-

3

2

时，y=（-

3

2

+1）²-4=-

15

4

，
即当点M的坐标为（-

3

2

，-

15

4

）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为

75

8

．
解：（1）∵抛物线y=（x+1）²+k与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）²-4，
∴抛物线的对称轴为：直线x=-1；

（2）存在．
连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，
当y=0时，（x+1）²-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∴

-3k+b=0 b=-3

，
解得：

k=-1 b=-3

，
∴直线AC的解析式为：y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
∴点P的坐标为：（-1，-2）；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
∴-3＜x＜0；
①设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），
∵AB=4，
∴S_△AMB=

1

2

×4×|（x+1）²-4|=2|（x+1）²-4|，
∵点M在第三象限，
∴S_△AMB=8-2（x+1）²，
∴当x=-1时，
即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

②设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），
过点M作MD⊥AB于D，
S_{四边形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD=

1

2

×3×1+

1

2

×（3+x）×[4-（x+1）²]+

1

2

×（-x）×[3+4-（x+1）²]
=-

3

2

（x²+3x-4）=-

3

2

（x+

3

2

）²+

75

8

，
∴当x=-

3

2

时，y=（-

3

2

+1）²-4=-

15

4

，
即当点M的坐标为（-

3

2

，-

15

4

）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为

75

8

．