试题

（2011·武汉）如图1，抛物线y=ax²+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）抛物线y=ax²+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点，
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得a=1，b=4，
∴抛物线解析式为y=x²+4x+3；

（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1
∴抛物线的顶点M（-2，-1），
直线OD的解析式为y=

1

2

x．于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，

1

2

h），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）²+

1

2

h，
①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9，解得h=

-1± 145

4

，
∴当

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此时抛物线y=（x-4）²+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3，3），
综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，
顶点横坐标h的取值范围为h=4或

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

；

（3）设直线EF的解析式为y=kx+3（k≠0），
点E、F的坐标分别为（m，m²），（n，n²），
由

y=x2 y=kx+3

得x²-kx-3=0，
∴m+n=k，m·n=-3，
作点E关于y轴的对称点R（-m，m²），作直线FR交y轴于点P，
由对称性知∠EPQ=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，
∴点P即为所求的点．
由F，R的坐标可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn记y=（n-m）x-3，
当x=0时，y=-3，
∴p（0，-3），
∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3）使△PEF的内心在y轴上．
解：（1）抛物线y=ax²+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点，
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得a=1，b=4，
∴抛物线解析式为y=x²+4x+3；

（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1
∴抛物线的顶点M（-2，-1），
直线OD的解析式为y=

1

2

x．于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，

1

2

h），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）²+

1

2

h，
①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9，解得h=

-1± 145

4

，
∴当

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此时抛物线y=（x-4）²+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3，3），
综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，
顶点横坐标h的取值范围为h=4或

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

；

（3）设直线EF的解析式为y=kx+3（k≠0），
点E、F的坐标分别为（m，m²），（n，n²），
由

y=x2 y=kx+3

得x²-kx-3=0，
∴m+n=k，m·n=-3，
作点E关于y轴的对称点R（-m，m²），作直线FR交y轴于点P，
由对称性知∠EPQ=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，
∴点P即为所求的点．
由F，R的坐标可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn记y=（n-m）x-3，
当x=0时，y=-3，
∴p（0，-3），
∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3）使△PEF的内心在y轴上．