试题

已知函数y=x²+bx+c（x≥0），满足当x=1时，y=-1，且当x=0与x=4时的函数值相等．
（1）求函数y=x²+bx+c（x≥0）的解析式并画出它的图象（不要求列表）；
（2）若f（x）表示自变量x相对应的函数值，且f(x)=

x2+bx+c(x≥0) -2(x＜0)

又已知关于x的方程f（x）=x+k有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k的取值范围．

解：（1）由x=0与x=4时的函数值相等，根据抛物线的对称性可知，
抛物线对称轴为x=

0+4

2

=2，
即-

b

2

=2，解得b=-4，
将x=1，y=-1代入y=x²-4x+c中，得1-4+c=-1，解得c=2，
∴y=x²-4x+2（x≥0）；

（2）方程f（x）=x+k的根，实质上是函数f（x）与直线y=x+k的图象交点，
由图象可知-2＜k≤2．
解：（1）由x=0与x=4时的函数值相等，根据抛物线的对称性可知，
抛物线对称轴为x=

0+4

2

=2，
即-

b

2

=2，解得b=-4，
将x=1，y=-1代入y=x²-4x+c中，得1-4+c=-1，解得c=2，
∴y=x²-4x+2（x≥0）；

（2）方程f（x）=x+k的根，实质上是函数f（x）与直线y=x+k的图象交点，
由图象可知-2＜k≤2．